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复数是高中数学的一个重要内容，在初等数学中有着十分重要的作用，而且也是进一步学习高等数学的基础.纵观近两年全国各地的高考试题，主要考查复数的代数形式及运算，难度为容易题或中等题，考查形式以选择题或填空题为主.本文主要就高考中常考查的知识点作如下分类：
一、复数的基本概念及分类
数系扩充到复数集后，理解复数的有关概念至关重要.要在理解的基础上，明确复数、实数、虚数、纯虚数之间的如下关系：
复数a+bi(a,b∈R)实数（b=0）虚数（b≠0）纯虚数（a=0）非纯虚数（a≠0）
为正确运用复数的知识解决复数问题奠定基础.
例1 （2010年山东理科2）已知a+2ii=b+i(a,b∈R)，其中i为虚数单位，则a+b=（）
A.-1B.1C.2D.3
解析：由a+2ii=b+i得a+2i=bi-1，所以由复数相等的意义知:a=－1,b=2,所以a+b=1，故选B.
评注：本题以复数的乘法（或除法）为依托，考查复数的实部、虚部、复数相等的意义、复数的基本运算，属容易题.
例2 （2009年陕西理科2）已知z是纯虚数，z+21-i是实数，那么z等于（）
A.2iB.iC.-iD.-2i
解析：设纯虚数z=bi，代入z+21－i=bi+21－i=(bi+2)(1+i)(1－i)(1+i)=(2－b)+(b+2)i2，
由于其为实数，b=－2,故选D.
评注：本题以复数的除法为媒介，考查复数的分类，属容易题.
二、复数的四则运算
复数的代数形式的加、减、乘、除运算，特别是乘、除运算是本章的重点，也是各地高考的热点.
例3 (2010年宁夏理科2）已知复数z=3+i(1－3i)2，z是z的共轭复数，则z•z=（）
A.14B.12C.1D.2
解析：z=3+i(1－3i)2=3+i1－23i－3=3+i－2－23i=(3+i)(－2+23i)(－2－23i)(－2+23i)=－34+14i，
所以z•z=(－34)2+(14)2=14．故选A.
另解：z=3+i(1－3i)2=(3+i)i(3i－1)2i=3i－1(3i－1)2i=1(3i－1)i=1－3－i=－34+14i，下略．
评注：复数的代数运算法则与多项式的运算法则类似.本题考查复数的乘法、除法运算，重在复数的除法运算，复数相除关键在于分母实数化，分母实数化时分子、分母同时乘以分母的共轭复数，把分母变为实数，将除法转变为乘法进行运算.本题考查复数的代数运算，除法是热点，属容易题.
三、复数的几何意义
复平面内的点Z(a,b)，与以原点为起点，以Z(a,b)为终点的向量OZ一一对应，所以复数与复平面内的点、与向量之间建立了一种一一对应关系，在此基础上引出了复数的模，诠释了复数运算的几何意义.
例4 （2010年湖北理科1）若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数z1+i的点是（）
A.EB.FC.GD.H
解析：由图知z=3+i，所以z1+i=3+i1+i=(3+i)(1-i)(1+i)(1-i)=4－2i2=2－i，
故选D.
评注：本题主要考查复数与复平面内的点一一对应关系，属容易题.
例5 （2008年广东理科1）已知0 A．(1，5)B．(1，3)
C．(1，5)D．(1，3)
解析：|z|=a2+1，而0 评注：本题考查复数模的几何意义，属容易题.
四、复数与其他知识的交汇
例6 （2010年福建理科9）对于复数a,b,c,d，若集合S={a,b,c,d}具有性质“对任意x,y∈S，有xy∈S”，则当a=1b2=1c2=b时，b+c+d等于()
A.1B.-1C.0D.i
解析：由题意，可取a=1,b=－1,c=i,d=－i，所以b+c+d=－1+i+(－i)=－1，选B.
例7 (2009年湖北理科3)投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数(m+ni)(n－mi)为实数的概率为（）
A.13B.14C.16D.112
解析：因为(m+ni)(n－mi)=2mn+(n2－m2)i为实数，所以n2=m2故m=n，
则可以取1、2…6，共6种可能，所以P=6C16•C16=16.故选C.
例8 （2010年浙江理科5）对任意复数z=x+yi(x,y∈R),i为虚数单位，则下列结论正确的是（）
A.|z－z|=2yB.z2=x2+y2
C.|z－z|≥2xD.|z|≤|x|+|y|
解析：容易看出A、B、C都是错误的，故选D.
事实上，要证|z|≤|x|+|y|，只要证明x2+y2≤|x|+|y|，只需证明x2+y2≤x2+y2+2|xy|，只需证明|xy|＞0，显然成立.
评注：以上三题，复数分别与集合知识、概率知识、不等式知识交汇在一起，体现出高考综合考查能力的特点，属中等题.
除上述几点外，还应掌握两复数相等的充要条件、复数模的有关性质、复数正指数幂的运算、虚数单位i正整数指数幂的周期性、(1±i)2=±2i；若ω=－12+32i，则ω2=ω，ω3=1等.
（作者：李维刚、张国良，山东省聊城市堂邑中学、江苏省徐州市第三十五中学）
一、复数的基本概念及分类
数系扩充到复数集后，理解复数的有关概念至关重要.要在理解的基础上，明确复数、实数、虚数、纯虚数之间的如下关系：
复数a+bi(a,b∈R)实数（b=0）虚数（b≠0）纯虚数（a=0）非纯虚数（a≠0）
为正确运用复数的知识解决复数问题奠定基础.
例1 （2010年山东理科2）已知a+2ii=b+i(a,b∈R)，其中i为虚数单位，则a+b=（）
A.-1B.1C.2D.3
解析：由a+2ii=b+i得a+2i=bi-1，所以由复数相等的意义知:a=－1,b=2,所以a+b=1，故选B.
评注：本题以复数的乘法（或除法）为依托，考查复数的实部、虚部、复数相等的意义、复数的基本运算，属容易题.
例2 （2009年陕西理科2）已知z是纯虚数，z+21-i是实数，那么z等于（）
A.2iB.iC.-iD.-2i
解析：设纯虚数z=bi，代入z+21－i=bi+21－i=(bi+2)(1+i)(1－i)(1+i)=(2－b)+(b+2)i2，
由于其为实数，b=－2,故选D.
评注：本题以复数的除法为媒介，考查复数的分类，属容易题.
二、复数的四则运算
复数的代数形式的加、减、乘、除运算，特别是乘、除运算是本章的重点，也是各地高考的热点.
例3 (2010年宁夏理科2）已知复数z=3+i(1－3i)2，z是z的共轭复数，则z•z=（）
A.14B.12C.1D.2
解析：z=3+i(1－3i)2=3+i1－23i－3=3+i－2－23i=(3+i)(－2+23i)(－2－23i)(－2+23i)=－34+14i，
所以z•z=(－34)2+(14)2=14．故选A.
另解：z=3+i(1－3i)2=(3+i)i(3i－1)2i=3i－1(3i－1)2i=1(3i－1)i=1－3－i=－34+14i，下略．
评注：复数的代数运算法则与多项式的运算法则类似.本题考查复数的乘法、除法运算，重在复数的除法运算，复数相除关键在于分母实数化，分母实数化时分子、分母同时乘以分母的共轭复数，把分母变为实数，将除法转变为乘法进行运算.本题考查复数的代数运算，除法是热点，属容易题.
三、复数的几何意义
复平面内的点Z(a,b)，与以原点为起点，以Z(a,b)为终点的向量OZ一一对应，所以复数与复平面内的点、与向量之间建立了一种一一对应关系，在此基础上引出了复数的模，诠释了复数运算的几何意义.
例4 （2010年湖北理科1）若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数z1+i的点是（）
A.EB.FC.GD.H
解析：由图知z=3+i，所以z1+i=3+i1+i=(3+i)(1-i)(1+i)(1-i)=4－2i2=2－i，
故选D.
评注：本题主要考查复数与复平面内的点一一对应关系，属容易题.
例5 （2008年广东理科1）已知0
C．(1，5)D．(1，3)
解析：|z|=a2+1，而0
四、复数与其他知识的交汇
例6 （2010年福建理科9）对于复数a,b,c,d，若集合S={a,b,c,d}具有性质“对任意x,y∈S，有xy∈S”，则当a=1b2=1c2=b时，b+c+d等于()
A.1B.-1C.0D.i
解析：由题意，可取a=1,b=－1,c=i,d=－i，所以b+c+d=－1+i+(－i)=－1，选B.
例7 (2009年湖北理科3)投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数(m+ni)(n－mi)为实数的概率为（）
A.13B.14C.16D.112
解析：因为(m+ni)(n－mi)=2mn+(n2－m2)i为实数，所以n2=m2故m=n，
则可以取1、2…6，共6种可能，所以P=6C16•C16=16.故选C.
例8 （2010年浙江理科5）对任意复数z=x+yi(x,y∈R),i为虚数单位，则下列结论正确的是（）
A.|z－z|=2yB.z2=x2+y2
C.|z－z|≥2xD.|z|≤|x|+|y|
解析：容易看出A、B、C都是错误的，故选D.
事实上，要证|z|≤|x|+|y|，只要证明x2+y2≤|x|+|y|，只需证明x2+y2≤x2+y2+2|xy|，只需证明|xy|＞0，显然成立.
评注：以上三题，复数分别与集合知识、概率知识、不等式知识交汇在一起，体现出高考综合考查能力的特点，属中等题.
除上述几点外，还应掌握两复数相等的充要条件、复数模的有关性质、复数正指数幂的运算、虚数单位i正整数指数幂的周期性、(1±i)2=±2i；若ω=－12+32i，则ω2=ω，ω3=1等.
（作者：李维刚、张国良，山东省聊城市堂邑中学、江苏省徐州市第三十五中学）