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重点难点易混易错点剖新
复习重点：随机事件的定义，概率的定义，计算简单事件概率的方法，主要是列举法（包括列表法和画树状图法），利用频率估计概率，并能体会随机观念和概率思想，
复习难点：理解什么是必然发生的事件、不可能发生的事件、随机事件，准确运用列举法（包括列表法和画树状图法）计算简单事件发生的概率，理解频率与概率的区别与联系，并能解决一些实际问题。
需要注意，概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映的规律并非意味着在每一次试验中一定存在，从这个意义上说，即使某事件发生的概率非常大，但在一次试验中也有可能不发生；即使事件发生的概率非常小，但在一次试验中也可能发生。
根据概率的定义，我们采用列举的方法计算一些简单事件的概率，一步试验一般适用枚举法，在两步的试验中适用列表法，对于包含三步的试验适用树状图法，树状图法是一种适用性比较广泛的方法，能够用列表法解决的问题当然也能用树状图法来解决。
在同样条件下，大量重复试验时，根据一个随机事件发生的频率所逐渐稳定到的常数可以估计这个事件发生的概率，对于不属于各种结果可能性相同的类型，只能用频率去估计概率，应用了“用样本估计总体”的统计思想，
概率的应用主要是通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中作出合理的决策，以及结合实际问题，体会统计与概率的关系，
易混易错点：
（1）混淆概率与频率，相同条件下，一个事件发生的概率是一个常数，频率会随着样本空间的变化而变化，所以用频率估计出来的概率通常是不精确的。会有误差，
（2）分不清“摸球问题”中的“摸出放回”与“摸出不放回”两种情况，用列举法计算简单事件发生的概率时，把机会均等的结果一一列举出来，在列举时必须注意结果不重不漏，
（3）概率的计算方法选择有误，解决有关概率的计算问题时要弄清楚是几步试验，这样才能准确选择概率的计算方法，
重要考点题型方法点拨
一.随机事件、必然事件、不可能事件与可能性
例1（2015·襄阳）下列说法中正确的是（
），
A.“任意画出一个等边三角形。它是轴对称图形”是随机事件
B.“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形’’是必然事件
C.“概率为0.000l的事件”是不可能事件
D.任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次
解析：“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是必然事件，选项A错误：“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件，选项B正确；“概率为0.0001的事件”是随机事件，选项C错误；任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的可能是5次，选项D错误，故选B，
点拨：本题考查了随机事件、必然事件以及不可能事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，如果相关概念理解不正确，容易造成错选，必然事件是指在一定条件下一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，本题在考查概率的同时，也考查了轴对称、中心对称等知识，体现了知识之间的相互渗透，如果对轴对称、中心对称掌握不好，也会产生新的易错点，
二.几何概率
例2（2015·营口）如图1，正方形的阴影部分是由四个直角边长都是1和3的直角三角形组成的。假设可以在正方形内部随意取点，那么这个点取在阴影部分的概率为
，
解析：点的取法虽然有无数种等可能情况，但根据取点的位置，可以转化为阴影面积与总面积的关系，求出阴影区域的面积在总面积中占的比例即可，
点拨：解决此题的关键是明确几何概率等于相应的面积与总面积之比，首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件，然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即为事件发生的概率，解答本题使用了转化思想，这一思想方法的渗透同学们要关注，本题的易错点是面积的计算，
解析：在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，共有5种等可能的结果，使与图中阴影部分构成轴对称图形的有②④⑤这3种情况，使与图中阴影部分
构成轴对称图形的概率是故选C，
点拨：本题综合考查概率公式及轴对称图形的相关知识，此题属于一步随机事件。用直接列举法求概率，根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率，本题的易错点是混淆轴对称、中心对称的概念，造成错选，
例4（2015·宁夏）从2，3，4这三个数字中，任意抽取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是
解析：本题属于抽取不放回两步随机事件，用列表法或树状图法求概率，如表1，任意抽取两个不同数字组成一个两位数共有6种情况，其中能被3整除的有24，42两种，则组成两
点拨：对于两步随机事件，首先要判断是抽取放回试验，还是抽取不放回试验，这也是本题的易错点，关键是通过列表法或树状图法求出组成两位数的所有可能情况及符合条件的几种可能情况，
例5（2015·德州）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右转，如果这三种可能性大小相同，则经过这个十字路口的两辆汽车一辆左转、一辆右转的概率是（
），
解析：本题属于抽取放回两步随机事件，可选用列表法或树状图法求概率，画树状图列举这两辆汽车行驶方向所有可能的结果如图3所示，共有9种可能的结果，由树状图知。两辆汽车一辆左转、一辆右转的结果有2种。且所有结果的可能性相同，则经过这个十字路口 点拨：由题目条件“两辆汽车”可知，在解决此问题时试验分两步完成，因为两辆汽车都有三种可能性且大小相同，所以试验是抽取放回的试验，解题的关键是根据题意画出树状图或列出表格，再根据概率公式求解即可，
六.求三步随机事件的概率
例6（2015·聊城）在阳光体育活动时间，小亮、小莹、小芳和大刚到学校乒乓球室打乒乓球，当时只有一副空球桌，他们只能选两人打第一场，
（1）如果确定小亮打第一场，再从其余三人中随机选取一人打第一场，求恰好选中大刚的概率，
（2）如果确定小亮为裁判，用“手心、手背”的方法决定其余三人哪两人打第一场，游戏规则是：三人同时伸“手心、手背”中的一种手势，如果恰好有两人伸出的手势相同且与另一个人的手势不同，那么这两人上场，否则重新开始，这三人伸出“手心”或“手背”都是随机的，请用画树状图的方法求小莹和小芳打第一场的概率。
解析：此题属于抽取放回三步随机事件，适用树状图法，（1）因为确定小亮打第一场，所以再从小莹、小芳和大刚中随机选取一人打第一场，恰好选中大刚的概率为三分之一；（2）画树状图如图4，
所有等可能的情况有8种，其中小莹和小芳伸“手心”或“手背”恰好相同且与大刚不同的结果有2种，则小莹与小芳打第一场的概率为八分之二等于四分之一。
点拨：解答本题的关键是弄清楚试验分几步完成，还要弄清楚是属于“放回”还是“不放回”的情形，注意不重不漏地列出所有可能情况，本题的易错点是不能正确判断出是几步随机事件，错误选用列表法，
七.用频率估计概率
例7（2015·南通）在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值约为（
），
A.12
B.15
C.18
D.21
点拨：用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，关键是根据红球的频率得到相应的等量关系，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近。可以从比例关系入手，列出方程求解，
中考命题预测
1.下列说法属于不可能事件的是（
），
A.四边形的内角和为360°
B.梯形的对角线不相等
C.内错角相等
D.存在实数x满足x2+l=0
2.如图5是一个可以自由转动的转盘，转盘分为6个大小相同的扇形，指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），指针指向阴影区域的概率是（
），
4.如图6，有一个质地均匀的正四面体，其四个面上分别画着圆、等边三角形、菱形、正五边形，投掷该正四面体一次，向下的一面的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是（
），
5.若十位上的数字比个位上的数字、百位上的数字都大的三位数叫作中高数，如796就是一个“中高数”，若十位上数字为7，则从3、4、5、6、8、9中任选两数，与7组成“中高数”的概率是（
），
6.用2，3，4三个数字排成一个三位数，则排出的数是偶数的概率为
，
7.一个不透明的盒子里装有除颜色外无其他差别的白珠子6颗和黑珠子若干颗，每次随机摸出一颗珠子，放回摇匀后再摸，通过多次试验发现摸到白珠子的频率稳定在O.3左右，则盒子中黑珠子可能有___颗，
8.A、B、C三人玩篮球传球游戏，游戏规则是：第一次传球由A将球随机地传给B，C两人中的某一人，以后的每一次传球都是由上次的传球者随机地传给其他两人中的某一人，
（1）求两次传球后，球恰在B手中的概率，
（2）求三次传球后，球恰在A手中的概率。
复习重点：随机事件的定义，概率的定义，计算简单事件概率的方法，主要是列举法（包括列表法和画树状图法），利用频率估计概率，并能体会随机观念和概率思想，
复习难点：理解什么是必然发生的事件、不可能发生的事件、随机事件，准确运用列举法（包括列表法和画树状图法）计算简单事件发生的概率，理解频率与概率的区别与联系，并能解决一些实际问题。
需要注意，概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映的规律并非意味着在每一次试验中一定存在，从这个意义上说，即使某事件发生的概率非常大，但在一次试验中也有可能不发生；即使事件发生的概率非常小，但在一次试验中也可能发生。
根据概率的定义，我们采用列举的方法计算一些简单事件的概率，一步试验一般适用枚举法，在两步的试验中适用列表法，对于包含三步的试验适用树状图法，树状图法是一种适用性比较广泛的方法，能够用列表法解决的问题当然也能用树状图法来解决。
在同样条件下，大量重复试验时，根据一个随机事件发生的频率所逐渐稳定到的常数可以估计这个事件发生的概率，对于不属于各种结果可能性相同的类型，只能用频率去估计概率，应用了“用样本估计总体”的统计思想，
概率的应用主要是通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中作出合理的决策，以及结合实际问题，体会统计与概率的关系，
易混易错点：
（1）混淆概率与频率，相同条件下，一个事件发生的概率是一个常数，频率会随着样本空间的变化而变化，所以用频率估计出来的概率通常是不精确的。会有误差，
（2）分不清“摸球问题”中的“摸出放回”与“摸出不放回”两种情况，用列举法计算简单事件发生的概率时，把机会均等的结果一一列举出来，在列举时必须注意结果不重不漏，
（3）概率的计算方法选择有误，解决有关概率的计算问题时要弄清楚是几步试验，这样才能准确选择概率的计算方法，
重要考点题型方法点拨
一.随机事件、必然事件、不可能事件与可能性
例1（2015·襄阳）下列说法中正确的是（
），
A.“任意画出一个等边三角形。它是轴对称图形”是随机事件
B.“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形’’是必然事件
C.“概率为0.000l的事件”是不可能事件
D.任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次
解析：“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是必然事件，选项A错误：“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件，选项B正确；“概率为0.0001的事件”是随机事件，选项C错误；任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的可能是5次，选项D错误，故选B，
点拨：本题考查了随机事件、必然事件以及不可能事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，如果相关概念理解不正确，容易造成错选，必然事件是指在一定条件下一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，本题在考查概率的同时，也考查了轴对称、中心对称等知识，体现了知识之间的相互渗透，如果对轴对称、中心对称掌握不好，也会产生新的易错点，
二.几何概率
例2（2015·营口）如图1，正方形的阴影部分是由四个直角边长都是1和3的直角三角形组成的。假设可以在正方形内部随意取点，那么这个点取在阴影部分的概率为
，
解析：点的取法虽然有无数种等可能情况，但根据取点的位置，可以转化为阴影面积与总面积的关系，求出阴影区域的面积在总面积中占的比例即可，
点拨：解决此题的关键是明确几何概率等于相应的面积与总面积之比，首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件，然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即为事件发生的概率，解答本题使用了转化思想，这一思想方法的渗透同学们要关注，本题的易错点是面积的计算，
解析：在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，共有5种等可能的结果，使与图中阴影部分构成轴对称图形的有②④⑤这3种情况，使与图中阴影部分
构成轴对称图形的概率是故选C，
点拨：本题综合考查概率公式及轴对称图形的相关知识，此题属于一步随机事件。用直接列举法求概率，根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率，本题的易错点是混淆轴对称、中心对称的概念，造成错选，
例4（2015·宁夏）从2，3，4这三个数字中，任意抽取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是
解析：本题属于抽取不放回两步随机事件，用列表法或树状图法求概率，如表1，任意抽取两个不同数字组成一个两位数共有6种情况，其中能被3整除的有24，42两种，则组成两
点拨：对于两步随机事件，首先要判断是抽取放回试验，还是抽取不放回试验，这也是本题的易错点，关键是通过列表法或树状图法求出组成两位数的所有可能情况及符合条件的几种可能情况，
例5（2015·德州）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右转，如果这三种可能性大小相同，则经过这个十字路口的两辆汽车一辆左转、一辆右转的概率是（
），
解析：本题属于抽取放回两步随机事件，可选用列表法或树状图法求概率，画树状图列举这两辆汽车行驶方向所有可能的结果如图3所示，共有9种可能的结果，由树状图知。两辆汽车一辆左转、一辆右转的结果有2种。且所有结果的可能性相同，则经过这个十字路口 点拨：由题目条件“两辆汽车”可知，在解决此问题时试验分两步完成，因为两辆汽车都有三种可能性且大小相同，所以试验是抽取放回的试验，解题的关键是根据题意画出树状图或列出表格，再根据概率公式求解即可，
六.求三步随机事件的概率
例6（2015·聊城）在阳光体育活动时间，小亮、小莹、小芳和大刚到学校乒乓球室打乒乓球，当时只有一副空球桌，他们只能选两人打第一场，
（1）如果确定小亮打第一场，再从其余三人中随机选取一人打第一场，求恰好选中大刚的概率，
（2）如果确定小亮为裁判，用“手心、手背”的方法决定其余三人哪两人打第一场，游戏规则是：三人同时伸“手心、手背”中的一种手势，如果恰好有两人伸出的手势相同且与另一个人的手势不同，那么这两人上场，否则重新开始，这三人伸出“手心”或“手背”都是随机的，请用画树状图的方法求小莹和小芳打第一场的概率。
解析：此题属于抽取放回三步随机事件，适用树状图法，（1）因为确定小亮打第一场，所以再从小莹、小芳和大刚中随机选取一人打第一场，恰好选中大刚的概率为三分之一；（2）画树状图如图4，
所有等可能的情况有8种，其中小莹和小芳伸“手心”或“手背”恰好相同且与大刚不同的结果有2种，则小莹与小芳打第一场的概率为八分之二等于四分之一。
点拨：解答本题的关键是弄清楚试验分几步完成，还要弄清楚是属于“放回”还是“不放回”的情形，注意不重不漏地列出所有可能情况，本题的易错点是不能正确判断出是几步随机事件，错误选用列表法，
七.用频率估计概率
例7（2015·南通）在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值约为（
），
A.12
B.15
C.18
D.21
点拨：用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，关键是根据红球的频率得到相应的等量关系，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近。可以从比例关系入手，列出方程求解，
中考命题预测
1.下列说法属于不可能事件的是（
），
A.四边形的内角和为360°
B.梯形的对角线不相等
C.内错角相等
D.存在实数x满足x2+l=0
2.如图5是一个可以自由转动的转盘，转盘分为6个大小相同的扇形，指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），指针指向阴影区域的概率是（
），
4.如图6，有一个质地均匀的正四面体，其四个面上分别画着圆、等边三角形、菱形、正五边形，投掷该正四面体一次，向下的一面的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是（
），
5.若十位上的数字比个位上的数字、百位上的数字都大的三位数叫作中高数，如796就是一个“中高数”，若十位上数字为7，则从3、4、5、6、8、9中任选两数，与7组成“中高数”的概率是（
），
6.用2，3，4三个数字排成一个三位数，则排出的数是偶数的概率为
，
7.一个不透明的盒子里装有除颜色外无其他差别的白珠子6颗和黑珠子若干颗，每次随机摸出一颗珠子，放回摇匀后再摸，通过多次试验发现摸到白珠子的频率稳定在O.3左右，则盒子中黑珠子可能有___颗，
8.A、B、C三人玩篮球传球游戏，游戏规则是：第一次传球由A将球随机地传给B，C两人中的某一人，以后的每一次传球都是由上次的传球者随机地传给其他两人中的某一人，
（1）求两次传球后，球恰在B手中的概率，
（2）求三次传球后，球恰在A手中的概率。