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【摘要】新《〈课标〉解读》指出：数学教育应为学生的终身发展作准备，要求教师不仅要教学生知识，更要让学生学会学习，使其在未来的认识历程中能依靠自主探索，主动学习而获取知识；类比作为合情推理的一种常用方式，具有发现命题、探索解题思路，扩展知识领域，促进知识的掌握与迁移，启迪思维、发展数学能力的作用.本文通过类比的几个着力点以及类比解题中需要注意的两个问题的展示，以期学生能更好地认识类比的特点和作用，从而正确地理解和运用这些方法，达到从整体上提高数学思维能力的目的.
波利亚曾经说过：类比是一个伟大的引路人.所谓类比，就是根据两个对象的某些属性的相同或相似，推导它们的其他属性也可能相同或相似的推理方法.类比是创造性的逻辑思维方式，有利于开阔学生的视野，培养学生发现问题和创造性地解决问题的能力，是高考中的热点题型.但是，如何引导学生进行类比呢？在日常教学中，经常会遇到具有探究价值的小问题，教师若能及时捕捉，将类比题型及方法展示给学生，同时启发学生遇到新问题时，有意识地与原有的知识结构多方面进行类比，善于发现问题间、知识间的异同点，使学生的学习过程成为教师引导下的“再创造”过程，这对激发学生兴趣、提升学习能力、挖掘学习潜能是很有帮助的.本文试以一些具体的实例为载体，感受类比在问题探究中的魅力.
一、类比的几个着力点
1.概念类比
例1 设集合S={A0,A1,A2,A3},在S上定义运算为AiAj=Ak，其中k为i+j被4除的余数，i,j=0,1,2,3，则满足关系式(xx)A2=A0的x(x∈S)的个数为.
解 ∵(xx)A2=A0,由x∈S，有xx=Ak，即有AkA2=A0，∴k=2，即有xx=A2，则x=A1或x=A3.
点评 解题的关键是正确理解两个定义AiAj=Ak与(xx)A2=A0，注意到x∈S，按照定义进行运算.本题主要考查学生的理解能力和知识迁移能力.
2.模式类比
例2 若f(x+m)=3+f(x)1-3f(x)对于正常数m和任意实数x都成立，判断f(x)是否为周期函数.
证明 题目的结构与tanx+π3=3+tanx1-3tanx相似，而y=tanx的最小正周期T=π.因此，我们猜测f(x)为周期函数，其周期为3m.
∵f(x+m)=3+f(x)1-3f(x)，
∴f(x+2m)=f［(x+m)+m］
=3+f(x+m)1-3f(x+m)=f(x)-31+3f(x)，
∴f(x+3m)=f［(x+2m)+m］=3+f(x+2m)1-3f(x+2m)=f(x).
故f(x)是周期为3m的函数.
点评 根据题目的模式，类比正切公式，由正切函数的周期猜想f(x)的周期，针对目标有的放矢地进行证明.
3.方法类比
例3 设f(x)=12x+2，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值为.
解 课本中推导等差数列前n项和的公式的方法是“倒序求和法”，考虑到题目的结构形式，有
f(-x+1)+f(x)=12-x+1+2+12x+2
=2x2×2x+2+12x+2
=2x+22(2x+2)=22，
∴原式=22×6=32.
4.性质类比
例4 定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个周期.若将方程f(x)=0在闭区间［-T,T］上的根的个数记为n，则n可能为.
分析 在解决抽象函数问题时，可以类比具体的函数的性质，从而得出结论.本题类比正弦函数y=sinx，满足题设的条件，观察它在［-2π,2π］上的图像与x轴的交点个数，即可得sinx=0在［-2π,2π］上的根的个数为5.
5.结构类比
例5 求函数y=1+3x+41-x+4的值域.
解 令λ=-x+4，则λ≤0，而y=1+(-3)λ1+λ.
显然λ是P(y,0)分有向线段P1P2所成的比，其中P1(1,0),P2(-3,0)，
∴λ=y-1-3-y≤0，解得y<-3或y≥1.
故函数的值域为(-∞,-3)∪［1,+∞).
点评 此题若直接变形求值域难以下手，若先作一个变换，令λ=-x+4，再将y=1+(-3)λ1+λ与定比分点公式联系起来，利用λ≤0便可求出y的范围.
此外还有升维类比、关系类比等等.
二、类比需要注意的问题
1.形似神异问题
世界上没有绝对相同的两个事物，哪怕是外形极为相像的孪生兄弟，也不是真正意义上的数学的“全等”，其在生活习惯、性格、气质等方面均有一定的差异.这差异很小，要想准确识别这些差异，就必须抓住其个性化特征，找到有别于其他事物的“蛛丝马迹”，对数学研究而言，更是如此.教师需要通过“形似”问题研究，进行归纳、思辨，在似与不似之间找出“神异”，提高学生欣赏、鉴别的水平和分析、解决问题的能力，激发学生探究热情，完善、优化其认知结构.
例6 比较以下两小题：
（1）已知曲线y=13x3上一点P2,83，求在点P的切线方程.
（2）已知曲线y=13x3上一点P2,83，求过点P的切线方程.
分析 两个小题仅一字之差，意义却完全不同.虽然点P在曲线上，但（1）中是以点P为切点，求切线方程；（2）中是求过点P的切线方程，点P不一定是切点.那么解题方法就不同了.
点评 数学中有许多问题，形式相似，但实质不同，有时因一个字或符号的差别，就很可能导致所需知识和解题方法的不同.学生在解决此类问题时，极易产生思维误区，造成解题失误.通过类似题目的不完全类似甚至截然相反的解法训练和思辨，可以使学生达到举一反三、触类旁通的目的，取得事半功倍的效果.正确处理形似质异问题，不仅能加深和巩固学生对基本知识、基本方法的领会和掌握，还可以培养和提高学生严谨的逻辑思维和辨异思维能力.
2.形异质同问题
有些事物的表象虽相去甚远，但本质上却“同宗同族”，差异尽管不小，却具有内在的同一，这在数学研究中不乏其例，通过对这类问题的研究，可从个性中寻找共性，培养学生思维的深刻性和广阔性，意义非凡.
例7 （1）上一个n级台阶，每次可上一级或两级，设上法的种数为f(n)，试求f(n)关于n的函数解析式.
（2）一对小兔子一个月后是一对成熟的大兔子，再过一个月一对大兔子繁殖一对小兔子，现有一对成熟的兔子.问：第n个月末，兔子最多有多少对？
两相对比，发现问题的结构、条件“毫不相干”，一个是“上楼问题”，一个是“兔子繁殖问题”，二者的共同点是同归数列问题.
关于“上楼问题”，对n级台阶，上法种数为f(n)；对（n+1）级台阶，上法种数为f(n+1)；对于（n+2）级台阶，考虑最后一步走法，问题分为两类：若是走一级，前面已是（n+1）级，共有走法f(n+1)；若最后走两级，则前面已是n级，走法是f(n)，所以对于（n+2）级共有走法是f(n)+f(n+1).当n≥3时，f(n)=f(n-2)+f(n-1)，即从第三项起，任一项等于前两项之和.
对于兔子繁殖问题，我们可以这样理解：第n月末，兔子的总对数首先是上月末的总对数f(n-1)加上本月末新生的对数，而能在本月末产下小兔子的成熟兔的对数应该是前月末兔子的对数，该为f(n-2)，因此本月末的总对数是前两个月末的对数之和，依然有f(n)=f(n-2)+f(n-1).
评注 以上两个问题可谓“同宗同族”,其共同之处就在思维方法上，即都要考虑前两次的情形.对于“兔子繁殖”问题，本月末兔子是上月末兔子数加上新生对数，而新生对数就是前月末兔子的对数，因而本月末兔子的对数与前两个月有关；对于“上楼问题”，从（n-1）级增加到n级后，考虑最后一步是走一级或是两级，共两种选择，要走一级，则前面的（n-1）走法已定，是f(n-1)；若最后走两级，则前面的（n+2）走法已定，是f(n-2)，两类问题的结果都是f(n-2)+f(n-1)，都归并到“斐波那契数列”上.关于“斐波那契数列”的求解方法也有很多种.第一，借助递推数列求解通项；第二，利用排列组合公式求解；第三，利用矩阵方法求解……
综上所述，类比有助于促进学生自主探索、深入研究，是学习数学、发现问题、创造性地解决问题的必不可少的思维形式，在数学教学中有着重要的教育价值.因而，教师应注意培养学生的类比意识，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验，从而提高数学思维能力.
波利亚曾经说过：类比是一个伟大的引路人.所谓类比，就是根据两个对象的某些属性的相同或相似，推导它们的其他属性也可能相同或相似的推理方法.类比是创造性的逻辑思维方式，有利于开阔学生的视野，培养学生发现问题和创造性地解决问题的能力，是高考中的热点题型.但是，如何引导学生进行类比呢？在日常教学中，经常会遇到具有探究价值的小问题，教师若能及时捕捉，将类比题型及方法展示给学生，同时启发学生遇到新问题时，有意识地与原有的知识结构多方面进行类比，善于发现问题间、知识间的异同点，使学生的学习过程成为教师引导下的“再创造”过程，这对激发学生兴趣、提升学习能力、挖掘学习潜能是很有帮助的.本文试以一些具体的实例为载体，感受类比在问题探究中的魅力.
一、类比的几个着力点
1.概念类比
例1 设集合S={A0,A1,A2,A3},在S上定义运算为AiAj=Ak，其中k为i+j被4除的余数，i,j=0,1,2,3，则满足关系式(xx)A2=A0的x(x∈S)的个数为.
解 ∵(xx)A2=A0,由x∈S，有xx=Ak，即有AkA2=A0，∴k=2，即有xx=A2，则x=A1或x=A3.
点评 解题的关键是正确理解两个定义AiAj=Ak与(xx)A2=A0，注意到x∈S，按照定义进行运算.本题主要考查学生的理解能力和知识迁移能力.
2.模式类比
例2 若f(x+m)=3+f(x)1-3f(x)对于正常数m和任意实数x都成立，判断f(x)是否为周期函数.
证明 题目的结构与tanx+π3=3+tanx1-3tanx相似，而y=tanx的最小正周期T=π.因此，我们猜测f(x)为周期函数，其周期为3m.
∵f(x+m)=3+f(x)1-3f(x)，
∴f(x+2m)=f［(x+m)+m］
=3+f(x+m)1-3f(x+m)=f(x)-31+3f(x)，
∴f(x+3m)=f［(x+2m)+m］=3+f(x+2m)1-3f(x+2m)=f(x).
故f(x)是周期为3m的函数.
点评 根据题目的模式，类比正切公式，由正切函数的周期猜想f(x)的周期，针对目标有的放矢地进行证明.
3.方法类比
例3 设f(x)=12x+2，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值为.
解 课本中推导等差数列前n项和的公式的方法是“倒序求和法”，考虑到题目的结构形式，有
f(-x+1)+f(x)=12-x+1+2+12x+2
=2x2×2x+2+12x+2
=2x+22(2x+2)=22，
∴原式=22×6=32.
4.性质类比
例4 定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个周期.若将方程f(x)=0在闭区间［-T,T］上的根的个数记为n，则n可能为.
分析 在解决抽象函数问题时，可以类比具体的函数的性质，从而得出结论.本题类比正弦函数y=sinx，满足题设的条件，观察它在［-2π,2π］上的图像与x轴的交点个数，即可得sinx=0在［-2π,2π］上的根的个数为5.
5.结构类比
例5 求函数y=1+3x+41-x+4的值域.
解 令λ=-x+4，则λ≤0，而y=1+(-3)λ1+λ.
显然λ是P(y,0)分有向线段P1P2所成的比，其中P1(1,0),P2(-3,0)，
∴λ=y-1-3-y≤0，解得y<-3或y≥1.
故函数的值域为(-∞,-3)∪［1,+∞).
点评 此题若直接变形求值域难以下手，若先作一个变换，令λ=-x+4，再将y=1+(-3)λ1+λ与定比分点公式联系起来，利用λ≤0便可求出y的范围.
此外还有升维类比、关系类比等等.
二、类比需要注意的问题
1.形似神异问题
世界上没有绝对相同的两个事物，哪怕是外形极为相像的孪生兄弟，也不是真正意义上的数学的“全等”，其在生活习惯、性格、气质等方面均有一定的差异.这差异很小，要想准确识别这些差异，就必须抓住其个性化特征，找到有别于其他事物的“蛛丝马迹”，对数学研究而言，更是如此.教师需要通过“形似”问题研究，进行归纳、思辨，在似与不似之间找出“神异”，提高学生欣赏、鉴别的水平和分析、解决问题的能力，激发学生探究热情，完善、优化其认知结构.
例6 比较以下两小题：
（1）已知曲线y=13x3上一点P2,83，求在点P的切线方程.
（2）已知曲线y=13x3上一点P2,83，求过点P的切线方程.
分析 两个小题仅一字之差，意义却完全不同.虽然点P在曲线上，但（1）中是以点P为切点，求切线方程；（2）中是求过点P的切线方程，点P不一定是切点.那么解题方法就不同了.
点评 数学中有许多问题，形式相似，但实质不同，有时因一个字或符号的差别，就很可能导致所需知识和解题方法的不同.学生在解决此类问题时，极易产生思维误区，造成解题失误.通过类似题目的不完全类似甚至截然相反的解法训练和思辨，可以使学生达到举一反三、触类旁通的目的，取得事半功倍的效果.正确处理形似质异问题，不仅能加深和巩固学生对基本知识、基本方法的领会和掌握，还可以培养和提高学生严谨的逻辑思维和辨异思维能力.
2.形异质同问题
有些事物的表象虽相去甚远，但本质上却“同宗同族”，差异尽管不小，却具有内在的同一，这在数学研究中不乏其例，通过对这类问题的研究，可从个性中寻找共性，培养学生思维的深刻性和广阔性，意义非凡.
例7 （1）上一个n级台阶，每次可上一级或两级，设上法的种数为f(n)，试求f(n)关于n的函数解析式.
（2）一对小兔子一个月后是一对成熟的大兔子，再过一个月一对大兔子繁殖一对小兔子，现有一对成熟的兔子.问：第n个月末，兔子最多有多少对？
两相对比，发现问题的结构、条件“毫不相干”，一个是“上楼问题”，一个是“兔子繁殖问题”，二者的共同点是同归数列问题.
关于“上楼问题”，对n级台阶，上法种数为f(n)；对（n+1）级台阶，上法种数为f(n+1)；对于（n+2）级台阶，考虑最后一步走法，问题分为两类：若是走一级，前面已是（n+1）级，共有走法f(n+1)；若最后走两级，则前面已是n级，走法是f(n)，所以对于（n+2）级共有走法是f(n)+f(n+1).当n≥3时，f(n)=f(n-2)+f(n-1)，即从第三项起，任一项等于前两项之和.
对于兔子繁殖问题，我们可以这样理解：第n月末，兔子的总对数首先是上月末的总对数f(n-1)加上本月末新生的对数，而能在本月末产下小兔子的成熟兔的对数应该是前月末兔子的对数，该为f(n-2)，因此本月末的总对数是前两个月末的对数之和，依然有f(n)=f(n-2)+f(n-1).
评注 以上两个问题可谓“同宗同族”,其共同之处就在思维方法上，即都要考虑前两次的情形.对于“兔子繁殖”问题，本月末兔子是上月末兔子数加上新生对数，而新生对数就是前月末兔子的对数，因而本月末兔子的对数与前两个月有关；对于“上楼问题”，从（n-1）级增加到n级后，考虑最后一步是走一级或是两级，共两种选择，要走一级，则前面的（n-1）走法已定，是f(n-1)；若最后走两级，则前面的（n+2）走法已定，是f(n-2)，两类问题的结果都是f(n-2)+f(n-1)，都归并到“斐波那契数列”上.关于“斐波那契数列”的求解方法也有很多种.第一，借助递推数列求解通项；第二，利用排列组合公式求解；第三，利用矩阵方法求解……
综上所述，类比有助于促进学生自主探索、深入研究，是学习数学、发现问题、创造性地解决问题的必不可少的思维形式，在数学教学中有着重要的教育价值.因而，教师应注意培养学生的类比意识，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验，从而提高数学思维能力.