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【摘 要】“模型思想”是《义务教育数学课程标准（2011年版）》的核心概念之一。它倡导以“问题情境—建立模型—求解验证”作为小学数学课程的一种基本建模培养模式。本文仅就新教材即《义务教育教科书》一、二年级数学中的教学案例谈这一思想的培养。
【关键词】新教材 教学案例 模型思想 培养
【中图分类号】G4 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）14-0223-01
《小学数学新课程标准》（2011年版）提出了10个核心概念，其中有两个全新的数学思想，即：模型思想和数学思想。所谓数学建模，“就是建立数学模型并用它解决问题”，它是一种意识，也是一个过程。《标准（2011）》中倡导以“问题情境—建立模型—求解验证”作为小学数学课程的一种基本建模模式。小学生在数学学习中能获得了大量的数学模型，如：加法、减法、乘法、除法、方程、不等式、函数等数学模型。那么，在小学数学课堂中，如何渗透、构建数学模型思想，是我们每个小学数学教师必须正确面对并要认真探究的课题。
一、巧设情境，感知模型
所谓创设有效的问题情境，就是要从学生“最近发展区”出发，通过创设一个学生熟悉的、典型而有效的问题情境，让学生多侧面、多层次地接触现实问题原型，激发学生的兴趣，自主建构认知结构，获得“数学活动经验，感悟数学思想”。
教学案例片段1：加法的认识
师：（出示图片）我们的好朋友乐乐正笑眯眯地给大家出问题呢！你知道是什么问题吗？
生：老师，我知道！乐乐一只手拿了3支铅笔，另一手拿了2支铅笔，她想问大家：把两只手里的铅笔合起来，一共是几支铅笔？
师：你说对了！那同学们知道一共有几支铅笔吗？
师：好，我们像乐乐这样拿出铅笔来。一只手拿3支，一只手拿2支，准备好了吗？现在把两只手的铅笔合起来，数数看，一共有几支铅笔？
生：5支。
师：太好了！你们帮乐乐解决了这个问题！其实，我们还可以用学具来摆一摆。请同学们拿出3个小圆片放在桌面上，再拿出2个圆片，代表另一只手里的2支铅笔，现在，把圆片合起来，一共有几个圆片？
生：5个！
师：非常好！同学们，你还能用其他的学具来摆一摆、说一说吗？
生1：我想摆出2个小方块，再摆出3个小方块，一共是5个小方块。
师：刚才，我们用做一做、摆一摆的方法都知道了3支铅笔和2支铅笔合起来是5支铅笔。用一个加法算式表示就是3+2=5。
师：刚才，我们解决的这些数学问题都是把两部分合起来，像这样的问题用加法算式表示。
这是一个基于铅笔的问题情境，案例中，教师为了创设更有效的教学情境，再次对新教材《义务教育教科书》中的教材图进行了修改，由原来的气球图，改成铅笔图。我想，这样的设计更适合我们实际课堂的教学操作，让这一情境变成学生的实际情境，把数学知识的来龙去脉搞清楚，把数学的构建过程展示给学生，引导学生进行“合并”的思维活动，形成了对加法运算的建构。对于一年级的小学生来说，谈到数学思想方法略显得深奥了一点，但教师总结得到“我们解决的这些数学问题都是把两部分合起来，像这样的问题用加法算式表示”已经足够了。
二、实践操作，建构模型
学生已经感知数学模型的存在了，但还不够，还需从实践上进一步进行操作，进一步建构模型思想。
新教材《义务教育教科书》，在计算教学方面作出的改进，在重视算理的同时，重视计算过程的演示和表达，就这点对培养符号化的数学模型是极有帮助的！例如，在一年级下册《100以内数的相加、减法》单元，还无需用到竖式计算。教材通过小棒的实践操作，再到与小棒图相对应的计算步骤分解图（此前的旧教教材《义务教育课程标准实验教科书》中没有这么明确的分解步骤），给学生呈现了生动的计算过程。具体到《两位数减一位数（退位减）》教学时，学生把自己独特的思考过程渗入到明确的计算步骤分解图中，显得格外有兴趣。
教学案例片段2：两位数减一位数（退位减）
师：（出示教材图）创设情境，得出算式： 36-8。
师：（板书）从之前的不退位减的计算方法引入，制造认知冲突。
生1：因为6减8不够减，就用30-8等于22，22再加上6就等于28。
师：在算30-8时，你们也是把3捆小棒全拆开后再减去8的吗？
生2：不是，我是把30分成20和10，用10减8等于2，再用2加20再加6就等于28。
师：很好，你的意思是说，我们没有必要把3捆小棒全部拆开，而是只要拆开1捆（10根）减去8就行了。有更简洁的表达方式吗？
生3：有。把36分成26和10，10减去8等于2，2再加26等于28。
师：还有其它算法吗？
生4：……
生5：……
首先，我们应该对这几种方法背后的思考都给予充分的肯定。生1的方法算理上没什么问题，但教师适时从小棒的实际操作角度方面进行设问：在实际操作中，我们会不会把36里面的3大捆小棒（30）全部拆开后再减8？从而引出之后的生2、生3的“破十减”的方法。最后，优化出生3、生4的两种方法。
在这一教学环节，教师在有的放矢中优化计算方法，结合学生的实际水平分层次逐步推进，让学生在实践操作中思考、发现、探究，构建了100以内减法“破十”的数学模型。
三、解决问题，运用模型
从具体问题中抽象出数学模型后，建模并未结束，教师还要变换问题情境，引导学生将数学模型应用到现实生活中去，以此来深化模型的内涵，拓展模型的外延。
1、变换问题情境，应用模型。
教学案例片段3：加法的初步认识（紧承案例1）
师：同学们，你们能找一找我们身边的加法问题吗？
师：同学们找到的加法问题真不少！下面，我们到淘气家里找一找，那里也有很多加法问题。
正是在学生建立并理解了加法运算模型的基础上，教师又呈现了一个新的问题情境——淘气家里的各种物品的情境，这实际是一个蕴含了多种同类事物的数量关系，进而应用加法运算模型来解释和解决的问题情境。当学生面对这一情境时，就会通过认真观察，自觉地在复杂事物中对同类事物在不同的空间情境下进行分类，抽象出数量，并建立数量关系。这实际上恰恰是让学生经历了“应用模型——求解验证”的过程。
2、运用直观模型，解决问题。
在新教材《义务教育教科书》中，特别重视图示作为数学模型的表达载体，如二年级上册的《乘法》单元的解决问题和二年级下册的《除法》单元的解决问题，都注入了画图策略作为加法、乘法、除法数学模型的表达载体，这些形象的图示，可以看成是加法、乘法和除法的直观模型，让低年级的学生更轻松地“应用模型——求解验证”。
因此，教师应在进行教学建模的同时，注重培养学生会用各种方式，对自己模型思想进行诠释。下面是本班的学生在解决问题中应用直观模型图来解决问题的情况：
总之，帮助学生形成模型思想是数学教育的一项长期任务，贯穿小学、初中、高中、大学各个阶段。作为小学数学教师，面对全新的理念，全新的思想，不要惧怕，要勇敢面对，在自己的教学实践中，大胆尝试，逐渐培养学生的数学模型思想。
【关键词】新教材 教学案例 模型思想 培养
【中图分类号】G4 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）14-0223-01
《小学数学新课程标准》（2011年版）提出了10个核心概念，其中有两个全新的数学思想，即：模型思想和数学思想。所谓数学建模，“就是建立数学模型并用它解决问题”，它是一种意识，也是一个过程。《标准（2011）》中倡导以“问题情境—建立模型—求解验证”作为小学数学课程的一种基本建模模式。小学生在数学学习中能获得了大量的数学模型，如：加法、减法、乘法、除法、方程、不等式、函数等数学模型。那么，在小学数学课堂中，如何渗透、构建数学模型思想，是我们每个小学数学教师必须正确面对并要认真探究的课题。
一、巧设情境，感知模型
所谓创设有效的问题情境，就是要从学生“最近发展区”出发，通过创设一个学生熟悉的、典型而有效的问题情境，让学生多侧面、多层次地接触现实问题原型，激发学生的兴趣，自主建构认知结构，获得“数学活动经验，感悟数学思想”。
教学案例片段1：加法的认识
师：（出示图片）我们的好朋友乐乐正笑眯眯地给大家出问题呢！你知道是什么问题吗？
生：老师，我知道！乐乐一只手拿了3支铅笔，另一手拿了2支铅笔，她想问大家：把两只手里的铅笔合起来，一共是几支铅笔？
师：你说对了！那同学们知道一共有几支铅笔吗？
师：好，我们像乐乐这样拿出铅笔来。一只手拿3支，一只手拿2支，准备好了吗？现在把两只手的铅笔合起来，数数看，一共有几支铅笔？
生：5支。
师：太好了！你们帮乐乐解决了这个问题！其实，我们还可以用学具来摆一摆。请同学们拿出3个小圆片放在桌面上，再拿出2个圆片，代表另一只手里的2支铅笔，现在，把圆片合起来，一共有几个圆片？
生：5个！
师：非常好！同学们，你还能用其他的学具来摆一摆、说一说吗？
生1：我想摆出2个小方块，再摆出3个小方块，一共是5个小方块。
师：刚才，我们用做一做、摆一摆的方法都知道了3支铅笔和2支铅笔合起来是5支铅笔。用一个加法算式表示就是3+2=5。
师：刚才，我们解决的这些数学问题都是把两部分合起来，像这样的问题用加法算式表示。
这是一个基于铅笔的问题情境，案例中，教师为了创设更有效的教学情境，再次对新教材《义务教育教科书》中的教材图进行了修改，由原来的气球图，改成铅笔图。我想，这样的设计更适合我们实际课堂的教学操作，让这一情境变成学生的实际情境，把数学知识的来龙去脉搞清楚，把数学的构建过程展示给学生，引导学生进行“合并”的思维活动，形成了对加法运算的建构。对于一年级的小学生来说，谈到数学思想方法略显得深奥了一点，但教师总结得到“我们解决的这些数学问题都是把两部分合起来，像这样的问题用加法算式表示”已经足够了。
二、实践操作，建构模型
学生已经感知数学模型的存在了，但还不够，还需从实践上进一步进行操作，进一步建构模型思想。
新教材《义务教育教科书》，在计算教学方面作出的改进，在重视算理的同时，重视计算过程的演示和表达，就这点对培养符号化的数学模型是极有帮助的！例如，在一年级下册《100以内数的相加、减法》单元，还无需用到竖式计算。教材通过小棒的实践操作，再到与小棒图相对应的计算步骤分解图（此前的旧教教材《义务教育课程标准实验教科书》中没有这么明确的分解步骤），给学生呈现了生动的计算过程。具体到《两位数减一位数（退位减）》教学时，学生把自己独特的思考过程渗入到明确的计算步骤分解图中，显得格外有兴趣。
教学案例片段2：两位数减一位数（退位减）
师：（出示教材图）创设情境，得出算式： 36-8。
师：（板书）从之前的不退位减的计算方法引入，制造认知冲突。
生1：因为6减8不够减，就用30-8等于22，22再加上6就等于28。
师：在算30-8时，你们也是把3捆小棒全拆开后再减去8的吗？
生2：不是，我是把30分成20和10，用10减8等于2，再用2加20再加6就等于28。
师：很好，你的意思是说，我们没有必要把3捆小棒全部拆开，而是只要拆开1捆（10根）减去8就行了。有更简洁的表达方式吗？
生3：有。把36分成26和10，10减去8等于2，2再加26等于28。
师：还有其它算法吗？
生4：……
生5：……
首先，我们应该对这几种方法背后的思考都给予充分的肯定。生1的方法算理上没什么问题，但教师适时从小棒的实际操作角度方面进行设问：在实际操作中，我们会不会把36里面的3大捆小棒（30）全部拆开后再减8？从而引出之后的生2、生3的“破十减”的方法。最后，优化出生3、生4的两种方法。
在这一教学环节，教师在有的放矢中优化计算方法，结合学生的实际水平分层次逐步推进，让学生在实践操作中思考、发现、探究，构建了100以内减法“破十”的数学模型。
三、解决问题，运用模型
从具体问题中抽象出数学模型后，建模并未结束，教师还要变换问题情境，引导学生将数学模型应用到现实生活中去，以此来深化模型的内涵，拓展模型的外延。
1、变换问题情境，应用模型。
教学案例片段3：加法的初步认识（紧承案例1）
师：同学们，你们能找一找我们身边的加法问题吗？
师：同学们找到的加法问题真不少！下面，我们到淘气家里找一找，那里也有很多加法问题。
正是在学生建立并理解了加法运算模型的基础上，教师又呈现了一个新的问题情境——淘气家里的各种物品的情境，这实际是一个蕴含了多种同类事物的数量关系，进而应用加法运算模型来解释和解决的问题情境。当学生面对这一情境时，就会通过认真观察，自觉地在复杂事物中对同类事物在不同的空间情境下进行分类，抽象出数量，并建立数量关系。这实际上恰恰是让学生经历了“应用模型——求解验证”的过程。
2、运用直观模型，解决问题。
在新教材《义务教育教科书》中，特别重视图示作为数学模型的表达载体，如二年级上册的《乘法》单元的解决问题和二年级下册的《除法》单元的解决问题，都注入了画图策略作为加法、乘法、除法数学模型的表达载体，这些形象的图示，可以看成是加法、乘法和除法的直观模型，让低年级的学生更轻松地“应用模型——求解验证”。
因此，教师应在进行教学建模的同时，注重培养学生会用各种方式，对自己模型思想进行诠释。下面是本班的学生在解决问题中应用直观模型图来解决问题的情况：
总之，帮助学生形成模型思想是数学教育的一项长期任务，贯穿小学、初中、高中、大学各个阶段。作为小学数学教师，面对全新的理念，全新的思想，不要惧怕，要勇敢面对，在自己的教学实践中，大胆尝试，逐渐培养学生的数学模型思想。