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摘要：提出适用于非线性材料的广义梁理论屈曲荷载计算方法，并对不锈钢薄壁受压构件屈曲荷载进行计算验证。通过定义材料非线性应力应变关系和瞬时弹性模量，对传统线弹性广义梁理论进行修正，建立非线性材料薄壁构件受压屈曲荷载计算方法，推导不锈钢薄板受压局部屈曲、冷弯薄壁不锈钢卷边槽形柱畸变屈曲及箱形不锈钢长柱弯曲屈曲荷载计算公式，并与既有试验数据对比。经验证，线弹性分析方法不适用于不锈钢材料；提出的修正GBT法具有较高精度，且本构关系采用变形法则结果偏于安全，可用于不锈钢等非线性金属材料薄壁构件受压屈曲荷载的确定，为研究和设计提供理论指导。
关键词：冷弯薄壁不锈钢；广义梁理论；非线性材料；受压构件；屈曲荷载
中图分类号：TU973.13
文献标志码：A
文章编号：1674-4764（2013）04-0068-11
不锈钢材料具有华丽的外观、优异的抗腐蚀性能、良好的力学和工艺性能、较高的比强度与比刚度、较低的维护费用等诸多优点，在建筑结构领域已获得较广泛的应用，如广州国际会展中心不锈钢屋面板、天津港四号卡子门不锈钢空间网架结构等，结构新颖，造型美观，具有显著的经济效益与社会效益[1]。受材料造价或建筑造型需要等因素影响，不锈钢通常被加工成薄壁构件并冷弯至各种形状，此类冷弯薄壁构件的稳定问题较突出，在结构设计时必须谨慎考虑。
与普通碳素结构钢相比，不锈钢在化学成分上增加铬（Cr）和镍（Ni）等合金元素使其耐腐蚀性能得到极大改善[2]，在材料受力性能方面亦表现出显著不同：不锈钢材料没有类似普通碳素钢的屈服平台，其应力应变曲线表现为典型的非线性特征，并具有低比例极限和良好的应变硬化性能[3]。这也就意味着即使不锈钢薄壁构件失稳时应力（应变）水平较低，材料也极可能处于非线性阶段，其屈曲性能将受瞬时弹性模量控制并表现出相应非线性特征。处理此类问题需构建三维本构关系，运用荷载增量法确定平衡路径，最终得到构件临界屈曲应力[4-5]，与弹性稳定分析相比有较大区别且更加复杂。目前中国关于不锈钢薄壁构件稳定性能研究较少，缺乏科学的理论分析和设计指导，极大阻碍了不锈钢结构的应用与发展。
本文基于广义梁理论（Generalised Beam Theory，以下简称GBT）基本原理针对不锈钢材料进行修正，根据流动法则、变形法则定义其瞬时弹性模量，利用Quach模型定义其非线性应力应变关系，并以荷载增量形式给出修正GBT平衡方程、边界条件及特征值计算公式，最后将提出的修正GBT法计算结果与试验结果进行对比验证。需要说明的是，受瞬时弹性模量影响，计算包含迭代过程，需借助软件（Maple、C++或Matlab）完成，因此提出公式严格来讲属于准解析的计算公式。
1非线性材料GBT计算公式
1.1传统GBT的基本原理
传统GBT理论主要用于线弹性薄壁构件稳定性能分析，按以下步骤进行[6-9] ：
1）截面分析。构件截面划分为连续折板，屈曲模态分解为一系列截面基本变形模态的线性组合，根据弗拉索夫假设和各基本模态单位翘曲、横向位移构造位移函数，计算截面刚度系数矩阵。
2）构件弹性稳定分析。考虑构件的长度和边界约束情况，建立GBT平衡微分方程和边界条件，利用有限差分法、有限元法或伽辽金法求解此特征值问题，最终通过线性组合求得此构件屈曲应力及相应屈曲模态[10-11]。
目前已有依据GBT理论编写的稳定分析程序GBTUL[12]，计算精确迅速，成为继有限条法、有限元法后研究人员处理薄壁构件弹性稳定问题的主要计算方法，被科学研究和工程设计领域广泛采用。然而，传统GBT理论只能用于构件弹性稳定分析，对于非线性材料的稳定问题尚不能予以有效解决。Goncalves和Camotim利用GBT法对不锈钢薄壁构件屈曲性能展开研究[13]，得到矩形薄板、C形卷边截面和矩形闭口截面构件在均匀受压时的屈曲模态和稳定曲线，但其本构方程采用Rasmussen模型，此模型经证实不能准确反映不锈钢材料应力应变关系[3]，且文献[13]中的GBT公式缺少必要推导过程，不同模态下构件屈曲应力计算过程不明确，结果缺乏试验数据验证。本文基于传统GBT理论及Goncalves和Camotim初步研究成果对GBT方法进行修正，使其适用于非线性材料构件的屈曲性能分析。
1.2应力应变关系模型
不锈钢是典型的非线性材料，应力应变关系模型精确与否对确定本构关系有着至关重要的影响。这方面的研究成果较为丰富，其中Quach等人提出的三段式模型[14]能够准确反映不锈钢材料的应力应变关系，是目前可供选用的最佳应力应变关系模型[3]。本文选用该模型描述不锈钢材料的应力应变关系，即：
1.3瞬时弹性模量
传统GBT理论采用弹性模量矩阵描述材料各方向本构关系，弹性模量矩阵在计算过程中保持不变。然而，非线性材料的应力应变呈非线性关系，随着应变的发展，弹性模量不断折减，构件刚度不断退化，固定的弹性模量矩阵不能反映材料真实本构关系。因此，需将弹性模量表达为应力（应变）的函数，以反映非线性材料在特定应力（应变）状态下的本构关系，即“瞬时弹性模量”。通过定义瞬时弹性模量矩阵对GBT法截面分析、构件稳定分析进行修正，使其能够正确描述构件屈曲状态，并最终根据平衡方程求得屈曲应力。本文基于小应变弹塑性理论确定材料瞬时弹性模量ij，假设材料屈服面服从Mises屈服条件，采用J2流动法则[15]和J2变形法则[16]2种理论的瞬时弹性模量ij中各分量表达式为： 3结论
提出适用于非线性材料的广义梁理论屈曲荷载计算方法，并对不锈钢薄壁受压构件局部屈曲、畸变屈曲和整体屈曲3种失稳模态的屈曲荷载进行计算。经验证，本文提出的修正GBT法具有较高精度，可用于确定非线性材料屈曲荷载，同时应注意以下2点：
1）传统弹性计算方法不适用于不锈钢等非线性材料。由于未考虑瞬时弹性模量变化，忽略了非线性材料的刚度折减，传统弹性计算方法的计算结果明显高于试验值，不能用于实际工程设计。
2）与流动法则相比，按变形法则理论确定材料瞬时模量，所得计算结果精确又偏于安全，且公式形式简洁、程序编写容易，可为研究人员、设计人员参考采用。
参考文献：
[1]王元清，袁焕鑫. 不锈钢结构的应用和研究现状[J]. 钢结构， 2010， 25（2）： 1-12，18.
[2]Gedge G. Structural uses of stainless steel-buildings and civil engineering [J]. Journal of Constructional Steel Research， 2008， 64（11）： 1194-1198.
[3]朱浩川， 姚谏. 不锈钢材料的应力-应变模型[J]. 空间结构， 2011， 17（1）： 62-69.
[4]Tvergaard V， Needleman A. On the foundations of plastic buckling [J]. Developments in Thin-Walled Structures， 1982， 1：205-233.
[5]Hutchinson J W. Plastic buckling [J]. Advances in Applied Mechanics， 1974， 14： 67-144.
[6]Schard R. Generalized beam theory-an adequate method for coupled stability problems [J]. Thin-Walled Structures， 1994， 19： 161-180.
[7]Davies J M， Leach P. First-order generalised beam theory [J]. Journal of Constructional Steel Research， 1994， 31（2/3）：187-220.
[8]Davies J M， Leach P， Heinz D. Second-order generalised beam theory [J]. Journal of Constructional Steel Research， 1994， 31（2/3）： 221-241.
[9]Davies J M. Generalised beam theory （GBT） for coupled instability problems [C]//Courses and Lectures International Centre for Mechanical Sciences， 1998：151-224.
[10]Schardt R. Generalized beam theory-an adequate method for coupled stability problems [J]. Thin-Walled Structures， 1994， 19：161-80.
[11]Schardt R. Lateral torsional and distortional buckling of channel-and hat-sections [J]. Journal of Constructional Steel Research， 1994， 31（2/3）： 243-265.
[12]Camotim D， Silverstre N， Goncalves R， et al. GBT-based structural analysis of thin-walled members： overview， recent progress and future developments [C]//Advances in Engineering Structures， Mechanics & Construction， 2006： 187-204.
[13]Goncalves R， Camotim D. GBT local and global buckling analysis of aluminium and stainless steel columns [J]. Computers & Structures， 2004， 82： 1473-1484.
[14]Quach W M， Teng J G， Chung K F. Three-stage full-range stress-strain model for stainless steels [J]. Journal of Structural Engineering， 2008， 134（9）：1518-1527.
[15]Handelman G H， Prageb W. Plastic buckling of a rectangular plate under edge thrusts[C]//National Advisory Committee for Aeronautics Report 946， 1948： 479-506. [16]Bijlaard P. Theory and tests on the plastic stability of plates and shells [J]. Journal of the Aeronautical Sciences， 1949（16）： 529-541.
[17]童根树. 钢结构的平面外稳定[M]. 北京： 中国建筑工业出版社，2007.
[18]Silvestre N， Camotim D. Second-order generalised beam theory for arbitrary orthotropic materials [J]. Thin-Walled Structures， 2002， 40（9）： 791-820.
[19]Bradford M A， Azhari M. Buckling of plates with different end conditions using the finite strip method [J]. Computers & Structures， 1995， 56（1）： 75-83.
[20]姚谏， 夏志斌. 钢结构——原理与设计[M]. 北京： 中国建筑工业出版社，2011.
[21]Rasmussen K J R. Numerical modelling of stainless steel plates in compression [J]. Journal of Constructional Steel Research， 2003， 59（11）： 1345-1362.
[22]Lecce M， Rasmussen K J R. Distortional buckling of cold-formed stainless steel sections： Experimental investigation [J]. Journal of Structural Engineering， 2006， 136（4）： 497-504.
[23]Silvestre N， Camotim D. Distortional buckling formulae for cold-formed steel C and Z-section members： Part I： Derivation [J]. Thin-Walled Structures， 2004， 42（11）： 1567-1597.
[24]陈绍蕃. 钢结构设计原理[M]. 北京： 科学出版社，2005.
[25]Rasmussen K， Hancock G J. Design of cold-formed stainless steel tubular members. I： Columns [J]. Journal of Structural Engineering， 1993， 119： 2349-2367.
[26]Gardner L， Nethercot D A. Experiments on stainless steel hollow sections—Part 2： Member behaviour of columns and beams [J]. Journal of Constructional Steel Research， 2004， 60（9）： 1319-1332.
[27]徐翔. 基于广义梁理论（GBT）的线弹性薄壁梁考虑截面畸变的翘曲研究[D]. 西安：西安建筑科技大学， 2003.
（编辑王秀玲）
关键词：冷弯薄壁不锈钢；广义梁理论；非线性材料；受压构件；屈曲荷载
中图分类号：TU973.13
文献标志码：A
文章编号：1674-4764（2013）04-0068-11
不锈钢材料具有华丽的外观、优异的抗腐蚀性能、良好的力学和工艺性能、较高的比强度与比刚度、较低的维护费用等诸多优点，在建筑结构领域已获得较广泛的应用，如广州国际会展中心不锈钢屋面板、天津港四号卡子门不锈钢空间网架结构等，结构新颖，造型美观，具有显著的经济效益与社会效益[1]。受材料造价或建筑造型需要等因素影响，不锈钢通常被加工成薄壁构件并冷弯至各种形状，此类冷弯薄壁构件的稳定问题较突出，在结构设计时必须谨慎考虑。
与普通碳素结构钢相比，不锈钢在化学成分上增加铬（Cr）和镍（Ni）等合金元素使其耐腐蚀性能得到极大改善[2]，在材料受力性能方面亦表现出显著不同：不锈钢材料没有类似普通碳素钢的屈服平台，其应力应变曲线表现为典型的非线性特征，并具有低比例极限和良好的应变硬化性能[3]。这也就意味着即使不锈钢薄壁构件失稳时应力（应变）水平较低，材料也极可能处于非线性阶段，其屈曲性能将受瞬时弹性模量控制并表现出相应非线性特征。处理此类问题需构建三维本构关系，运用荷载增量法确定平衡路径，最终得到构件临界屈曲应力[4-5]，与弹性稳定分析相比有较大区别且更加复杂。目前中国关于不锈钢薄壁构件稳定性能研究较少，缺乏科学的理论分析和设计指导，极大阻碍了不锈钢结构的应用与发展。
本文基于广义梁理论（Generalised Beam Theory，以下简称GBT）基本原理针对不锈钢材料进行修正，根据流动法则、变形法则定义其瞬时弹性模量，利用Quach模型定义其非线性应力应变关系，并以荷载增量形式给出修正GBT平衡方程、边界条件及特征值计算公式，最后将提出的修正GBT法计算结果与试验结果进行对比验证。需要说明的是，受瞬时弹性模量影响，计算包含迭代过程，需借助软件（Maple、C++或Matlab）完成，因此提出公式严格来讲属于准解析的计算公式。
1非线性材料GBT计算公式
1.1传统GBT的基本原理
传统GBT理论主要用于线弹性薄壁构件稳定性能分析，按以下步骤进行[6-9] ：
1）截面分析。构件截面划分为连续折板，屈曲模态分解为一系列截面基本变形模态的线性组合，根据弗拉索夫假设和各基本模态单位翘曲、横向位移构造位移函数，计算截面刚度系数矩阵。
2）构件弹性稳定分析。考虑构件的长度和边界约束情况，建立GBT平衡微分方程和边界条件，利用有限差分法、有限元法或伽辽金法求解此特征值问题，最终通过线性组合求得此构件屈曲应力及相应屈曲模态[10-11]。
目前已有依据GBT理论编写的稳定分析程序GBTUL[12]，计算精确迅速，成为继有限条法、有限元法后研究人员处理薄壁构件弹性稳定问题的主要计算方法，被科学研究和工程设计领域广泛采用。然而，传统GBT理论只能用于构件弹性稳定分析，对于非线性材料的稳定问题尚不能予以有效解决。Goncalves和Camotim利用GBT法对不锈钢薄壁构件屈曲性能展开研究[13]，得到矩形薄板、C形卷边截面和矩形闭口截面构件在均匀受压时的屈曲模态和稳定曲线，但其本构方程采用Rasmussen模型，此模型经证实不能准确反映不锈钢材料应力应变关系[3]，且文献[13]中的GBT公式缺少必要推导过程，不同模态下构件屈曲应力计算过程不明确，结果缺乏试验数据验证。本文基于传统GBT理论及Goncalves和Camotim初步研究成果对GBT方法进行修正，使其适用于非线性材料构件的屈曲性能分析。
1.2应力应变关系模型
不锈钢是典型的非线性材料，应力应变关系模型精确与否对确定本构关系有着至关重要的影响。这方面的研究成果较为丰富，其中Quach等人提出的三段式模型[14]能够准确反映不锈钢材料的应力应变关系，是目前可供选用的最佳应力应变关系模型[3]。本文选用该模型描述不锈钢材料的应力应变关系，即：
1.3瞬时弹性模量
传统GBT理论采用弹性模量矩阵描述材料各方向本构关系，弹性模量矩阵在计算过程中保持不变。然而，非线性材料的应力应变呈非线性关系，随着应变的发展，弹性模量不断折减，构件刚度不断退化，固定的弹性模量矩阵不能反映材料真实本构关系。因此，需将弹性模量表达为应力（应变）的函数，以反映非线性材料在特定应力（应变）状态下的本构关系，即“瞬时弹性模量”。通过定义瞬时弹性模量矩阵对GBT法截面分析、构件稳定分析进行修正，使其能够正确描述构件屈曲状态，并最终根据平衡方程求得屈曲应力。本文基于小应变弹塑性理论确定材料瞬时弹性模量ij，假设材料屈服面服从Mises屈服条件，采用J2流动法则[15]和J2变形法则[16]2种理论的瞬时弹性模量ij中各分量表达式为： 3结论
提出适用于非线性材料的广义梁理论屈曲荷载计算方法，并对不锈钢薄壁受压构件局部屈曲、畸变屈曲和整体屈曲3种失稳模态的屈曲荷载进行计算。经验证，本文提出的修正GBT法具有较高精度，可用于确定非线性材料屈曲荷载，同时应注意以下2点：
1）传统弹性计算方法不适用于不锈钢等非线性材料。由于未考虑瞬时弹性模量变化，忽略了非线性材料的刚度折减，传统弹性计算方法的计算结果明显高于试验值，不能用于实际工程设计。
2）与流动法则相比，按变形法则理论确定材料瞬时模量，所得计算结果精确又偏于安全，且公式形式简洁、程序编写容易，可为研究人员、设计人员参考采用。
参考文献：
[1]王元清，袁焕鑫. 不锈钢结构的应用和研究现状[J]. 钢结构， 2010， 25（2）： 1-12，18.
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[4]Tvergaard V， Needleman A. On the foundations of plastic buckling [J]. Developments in Thin-Walled Structures， 1982， 1：205-233.
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[8]Davies J M， Leach P， Heinz D. Second-order generalised beam theory [J]. Journal of Constructional Steel Research， 1994， 31（2/3）： 221-241.
[9]Davies J M. Generalised beam theory （GBT） for coupled instability problems [C]//Courses and Lectures International Centre for Mechanical Sciences， 1998：151-224.
[10]Schardt R. Generalized beam theory-an adequate method for coupled stability problems [J]. Thin-Walled Structures， 1994， 19：161-80.
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[12]Camotim D， Silverstre N， Goncalves R， et al. GBT-based structural analysis of thin-walled members： overview， recent progress and future developments [C]//Advances in Engineering Structures， Mechanics & Construction， 2006： 187-204.
[13]Goncalves R， Camotim D. GBT local and global buckling analysis of aluminium and stainless steel columns [J]. Computers & Structures， 2004， 82： 1473-1484.
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[18]Silvestre N， Camotim D. Second-order generalised beam theory for arbitrary orthotropic materials [J]. Thin-Walled Structures， 2002， 40（9）： 791-820.
[19]Bradford M A， Azhari M. Buckling of plates with different end conditions using the finite strip method [J]. Computers & Structures， 1995， 56（1）： 75-83.
[20]姚谏， 夏志斌. 钢结构——原理与设计[M]. 北京： 中国建筑工业出版社，2011.
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[23]Silvestre N， Camotim D. Distortional buckling formulae for cold-formed steel C and Z-section members： Part I： Derivation [J]. Thin-Walled Structures， 2004， 42（11）： 1567-1597.
[24]陈绍蕃. 钢结构设计原理[M]. 北京： 科学出版社，2005.
[25]Rasmussen K， Hancock G J. Design of cold-formed stainless steel tubular members. I： Columns [J]. Journal of Structural Engineering， 1993， 119： 2349-2367.
[26]Gardner L， Nethercot D A. Experiments on stainless steel hollow sections—Part 2： Member behaviour of columns and beams [J]. Journal of Constructional Steel Research， 2004， 60（9）： 1319-1332.
[27]徐翔. 基于广义梁理论（GBT）的线弹性薄壁梁考虑截面畸变的翘曲研究[D]. 西安：西安建筑科技大学， 2003.
（编辑王秀玲）