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【摘要】在小学数学教育教学中有意识地向学生渗透一些基本数学思想方法能使学生领悟数学的真谛， 懂得数学的价值， 学会数学地思考和解决问题， 能把知识的学习与培养能力、发展智力有机地统一起来， 且它本身也蕴涵了情感素养的熏染， 这也正是新课程标准充分强调的。
【关键词】数学教学；数学思想；渗透
《数学课程标准》在总体目标中提出：通过义务教育阶段的数学学习，使学生能够“获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。”为此，教师必须认真钻研教材，提炼教材中的数学思想，把数学思想通过精心设计的途径和方法渗透到小学数学教学中。
小学数学中应渗透哪些数学思想。
1. 符号化思想
符号化思想最早发明符号的数学家是韦达。英国著名哲学家，数学家罗素说过：什么是数学？数学就是符号加逻辑。用符号化的语言( 包括字母、数字、图形和各种特定的符号) 来描述数学的内容， 这就是符号思想方法。
教材中有许多渗透符号化思想的例子。如：我在上《字母表示数》这节课时，让我直接由学生感兴趣的青蛙儿歌切入，通过学生读，是读不完的， 产生知识矛盾冲突，通过老师的一句话“那读不完了怎么办呢？谁能用一句话就能把它读完呢？”引出学生的讨论，找出解决问题的办法，那“用字母”来表示，在这读一读、讨论中，符号化思想初步渗透给学生，让学生体会用字母比具体数字更加概括明确，同时也让学生初步会用字母表示数，初步理解用字母表示数的含义。
又如乘法分配律(a＋b)×c＝a×c＋b×c，这里的a、b、c不仅可以表示1、2、3，也可以表示4、5、6、7……长方形的面积计算公式s＝a×b，不管世界上有多少个不同的长方形，都可用它计算出来。
2. 集合思想
集合思想创建者是德国数学家Go康托尔于1874年提出的，我国在1978年以后编的小学数学教材中也渗透了集合思想。集合是指把具有同一属性的对象看作整体。在小学数学教材中，用封闭曲线围成的平面部分表示集合。集合思想作为现代数学最重要的思想方法之一。集合是数学的重要理论和解题工具。
如：并集思想，在小学一年级的教材中，并集被用于说明加法的意义。如人教版一年级数学上册加法的教材中，小猪右手三只红气球是一个集合A，左手一只蓝气球是集合B，左右手的气球放在一起就是A与B的并集C，在教学时，教师就要与学生一起数清各集合中元素的个数，并告诉大家集合中有几个元素就代表几，正像该例所描述的集合A表示“3”，B表示“1”，A与B的并集则表示“4”，即“3＋1=4”。
又如：黄老师上的三年级下册（人教版）《数学广角》一课，通过“西游记主要人物喜欢的两种水果调查统计”，巧设悬疑：既然人数有重复现象，能否用图表的形式表示出一共调查的人数呢？而且要让人一目了解地看出既喜欢香蕉又喜欢苹果的有哪些人呢？从而很自然产生知识的冲突，怎样处理比较合理，引出“集合图”，把同一类的放在一个集合圈中，重叠部分放在交集部分，自然地渗透了集合思想，能吸引学生的注意力，帮助学生理解和掌握所学数学知识！
3. 化归思想
化归思想是指在解决数学问题，时 往往不是直接解决原问题， 而是将问题进行变换， 使其转化为一个或几个已经能够解决的问题， 这样的思想叫做化归思想。利用化归思想转化而得到的新问题与原问题相比较， 应该为已解决的或较容易解决的问题。所以， 化归的方向应该是化隐为显、化繁为简、化难为易、化未知为已知。
例如：北师大版六年级上册《圆的面积》
教学圆面积的计算方法，这里要推导出圆面积公式，在推导过程中，采用把圆分成若干等份，然后拼成一个近似长方形，从而推导出圆的面积公式。这里把圆剪拼成近似长方形的过程，就是把曲线形化归为直线形的过程。
如求组合图形的面积时先把组合图形割补成学过的简单图形，然后计算出各部分面积的和或差，均能使学生体会化归法的本质。
4. 对应思想
对应思想是指人的思想对两个集合元素之间联系的把握。许多具体的数学思想来源于对应思想。
教材中“看图写算式”就是数与形的对应，数轴上的点与数的对应，分数乘除应用题中的量与率的对应，都是渗透对应思想的好素材。
例如：比一比（新人教版一年级上册第6页）
使学生通过操作，初步知道“同样多”、“多、少”的含义，会用一一对应的方法比较物体的多少。这个教学内容主要渗透的是对应思想。
分析：小兔和砖，一只小兔搬一块砖，一只小兔对应一块砖，正好都对应上，没有多余的，小兔和砖就是“同样多”；1只小猪对应1根木头，小猪没有多余，而木头有多余的，就是木头多，小猪少，木头比小猪多；小猪比木头少。
使学生初步接触一一对应的思想，初步感知两个集合的各元素之间能一一对应，它们的数量就是“同样多、谁比谁多（少）”。“对应”的思想在今后的学习中将会发挥越来越大的作用，同时也渗透了数形思想。
如教学倍的认识“4是2的几倍？12是4的几倍？”对于刚接触的二年级学生来说，为了使学生充分理解“谁是谁的几倍”的含义，教师摆实物图，通过图形进行形象、直观的对比，使一个圆形图片对应着一个三角形图片，学生发现圆形图片与三角形图片之间的对应关系，由此启发学生理解倍的含义，进而列式计算。这样使学生清楚地找出数量关系、发现解题规律，让学生不知不觉地建立起对应思想。
5. 函数思想
小学数学教材从低年段开始，如一个加数不变时，“和”随“另一个加数”变化而变化，也是找出其对应关系。正、反比例这部分内容更是集中渗透了函数概念。教师处理这部分教材时，应通过画图、列表等直观形式，引导学生通过观察、比较，归纳发现出两个量的“变化”，突出“两种相关联的量”之间的对应关系。
小学数学中几何图形的周长，面积和体积公式，实际上就是用解析法来表示变量之间关系的函数关系式。如圆面积公式S=πr2，圆面积随着半径的变化而变化。长方形的面积公式S=a×b，长方形的面积的变化与长、宽的变化有关。
6. 分类思想
分类思想是一种基本的数学思想，它是根据一定的标准，对事物进行有序划分和组织的过程。一般我们分类时要求满足互斥，无遗漏、最简便的原则。
数学中每一个概念都有其特有的本质特征， 它又是按照一定的规律扩展变化的， 它们之间都存在着质变到量变的关系。要正确认识这些概念， 就需要具体的概念依据、具体的标准、具体的分析， 这就是数学的分类思想， 即指按某种标准， 将研究的数学对象分成若干部分进行分析研究。
如整数以能否被2整除为例，可分为奇数和偶数；若以自然数的约数个数来分类，则可分为质数、合数和1。
练习：把下面的数按照不同的标准分成两类，你想到几种方法？
4、5、8、9、11、15、16
几何图形中的分类更常见，如学习“角的分类”时，涉及到许多概念，而这些概念之间的关系渗透着量变到质变的规律。其中几种角是按照度数的大小，从量变到质变来分类的，由此推理到在三角形中以最大一个角大于、等于和小于90°为分类标准，可分为钝角三角形、直角三角形和锐角三角形。而三角形以边的长短关系为分类标准，又可分为不等边三角形和等边三角形，等边三角形又可分为正三角形和等腰三角形。不同的分类标准会有不同的分类结果，从而产生新的数学概念和数学知识的结构。
7. 极限思想
事物是从量变到质变，极限方法的实质正是通过量变的无限过程达到质变。
教学“圆的面积和周长”中，“化圆为方”“化曲为直”的极限分割思路，在观察有限分割的基础上想象它们的极限状态，这样不仅使学生掌握公式，还能从曲与直的矛盾转化中萌发了无限逼近的极限思想。
现行小学教材中有许多处注意了极限思想的渗透：
在“自然数”、“奇数”、“偶数”这些概念教学时，教师可让学生体会自然数是数不完的，奇数、偶数的个数有无限多个，让学生初步体会“无限”思想。
在直线、射线、平行线的教学时，可让学生体会线的两端是可以无限延长的。从“数量”上看“无限多”：如2的倍数有“无限多”个。从“图形”上看“无限延伸性”：如角的两条边可无限延长。在循环小数这一部分内容，在教学 1÷3 = 0.333…是一循环小数，它的小数点后面的数字是写不完的，是无限的。
正如日本数学教育家米山国藏指出 “作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了，唯有深深铭记在头脑中的是数学的精神、数学的思想、研究方法等，这些随时随地发生作用，使学生终身受益。”数学思想方法是教学的灵魂，是教学的智慧，也是一种数学文化。数学思想位数学思维活动指示了方向，提供了策略和价值判断的标准。数学思想是点石成金的手段，“渔鱼”的策略，以数学思想为主线开展数学教学活动，让学生以不变应万变，可以更有效地培养学生的创新意识的实践能力。
参考文献
［1］小学数学新课程标准（2012年新版）
［2］陕西师范大学数学与信息科学学院罗新兵《数学符号的教与学》中学数学教学参考2002.第5期
［3］沈文选，杨清桃编著《数学思想领悟》哈尔滨工业大学出版社2008-1-1出版
【关键词】数学教学；数学思想；渗透
《数学课程标准》在总体目标中提出：通过义务教育阶段的数学学习，使学生能够“获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。”为此，教师必须认真钻研教材，提炼教材中的数学思想，把数学思想通过精心设计的途径和方法渗透到小学数学教学中。
小学数学中应渗透哪些数学思想。
1. 符号化思想
符号化思想最早发明符号的数学家是韦达。英国著名哲学家，数学家罗素说过：什么是数学？数学就是符号加逻辑。用符号化的语言( 包括字母、数字、图形和各种特定的符号) 来描述数学的内容， 这就是符号思想方法。
教材中有许多渗透符号化思想的例子。如：我在上《字母表示数》这节课时，让我直接由学生感兴趣的青蛙儿歌切入，通过学生读，是读不完的， 产生知识矛盾冲突，通过老师的一句话“那读不完了怎么办呢？谁能用一句话就能把它读完呢？”引出学生的讨论，找出解决问题的办法，那“用字母”来表示，在这读一读、讨论中，符号化思想初步渗透给学生，让学生体会用字母比具体数字更加概括明确，同时也让学生初步会用字母表示数，初步理解用字母表示数的含义。
又如乘法分配律(a＋b)×c＝a×c＋b×c，这里的a、b、c不仅可以表示1、2、3，也可以表示4、5、6、7……长方形的面积计算公式s＝a×b，不管世界上有多少个不同的长方形，都可用它计算出来。
2. 集合思想
集合思想创建者是德国数学家Go康托尔于1874年提出的，我国在1978年以后编的小学数学教材中也渗透了集合思想。集合是指把具有同一属性的对象看作整体。在小学数学教材中，用封闭曲线围成的平面部分表示集合。集合思想作为现代数学最重要的思想方法之一。集合是数学的重要理论和解题工具。
如：并集思想，在小学一年级的教材中，并集被用于说明加法的意义。如人教版一年级数学上册加法的教材中，小猪右手三只红气球是一个集合A，左手一只蓝气球是集合B，左右手的气球放在一起就是A与B的并集C，在教学时，教师就要与学生一起数清各集合中元素的个数，并告诉大家集合中有几个元素就代表几，正像该例所描述的集合A表示“3”，B表示“1”，A与B的并集则表示“4”，即“3＋1=4”。
又如：黄老师上的三年级下册（人教版）《数学广角》一课，通过“西游记主要人物喜欢的两种水果调查统计”，巧设悬疑：既然人数有重复现象，能否用图表的形式表示出一共调查的人数呢？而且要让人一目了解地看出既喜欢香蕉又喜欢苹果的有哪些人呢？从而很自然产生知识的冲突，怎样处理比较合理，引出“集合图”，把同一类的放在一个集合圈中，重叠部分放在交集部分，自然地渗透了集合思想，能吸引学生的注意力，帮助学生理解和掌握所学数学知识！
3. 化归思想
化归思想是指在解决数学问题，时 往往不是直接解决原问题， 而是将问题进行变换， 使其转化为一个或几个已经能够解决的问题， 这样的思想叫做化归思想。利用化归思想转化而得到的新问题与原问题相比较， 应该为已解决的或较容易解决的问题。所以， 化归的方向应该是化隐为显、化繁为简、化难为易、化未知为已知。
例如：北师大版六年级上册《圆的面积》
教学圆面积的计算方法，这里要推导出圆面积公式，在推导过程中，采用把圆分成若干等份，然后拼成一个近似长方形，从而推导出圆的面积公式。这里把圆剪拼成近似长方形的过程，就是把曲线形化归为直线形的过程。
如求组合图形的面积时先把组合图形割补成学过的简单图形，然后计算出各部分面积的和或差，均能使学生体会化归法的本质。
4. 对应思想
对应思想是指人的思想对两个集合元素之间联系的把握。许多具体的数学思想来源于对应思想。
教材中“看图写算式”就是数与形的对应，数轴上的点与数的对应，分数乘除应用题中的量与率的对应，都是渗透对应思想的好素材。
例如：比一比（新人教版一年级上册第6页）
使学生通过操作，初步知道“同样多”、“多、少”的含义，会用一一对应的方法比较物体的多少。这个教学内容主要渗透的是对应思想。
分析：小兔和砖，一只小兔搬一块砖，一只小兔对应一块砖，正好都对应上，没有多余的，小兔和砖就是“同样多”；1只小猪对应1根木头，小猪没有多余，而木头有多余的，就是木头多，小猪少，木头比小猪多；小猪比木头少。
使学生初步接触一一对应的思想，初步感知两个集合的各元素之间能一一对应，它们的数量就是“同样多、谁比谁多（少）”。“对应”的思想在今后的学习中将会发挥越来越大的作用，同时也渗透了数形思想。
如教学倍的认识“4是2的几倍？12是4的几倍？”对于刚接触的二年级学生来说，为了使学生充分理解“谁是谁的几倍”的含义，教师摆实物图，通过图形进行形象、直观的对比，使一个圆形图片对应着一个三角形图片，学生发现圆形图片与三角形图片之间的对应关系，由此启发学生理解倍的含义，进而列式计算。这样使学生清楚地找出数量关系、发现解题规律，让学生不知不觉地建立起对应思想。
5. 函数思想
小学数学教材从低年段开始，如一个加数不变时，“和”随“另一个加数”变化而变化，也是找出其对应关系。正、反比例这部分内容更是集中渗透了函数概念。教师处理这部分教材时，应通过画图、列表等直观形式，引导学生通过观察、比较，归纳发现出两个量的“变化”，突出“两种相关联的量”之间的对应关系。
小学数学中几何图形的周长，面积和体积公式，实际上就是用解析法来表示变量之间关系的函数关系式。如圆面积公式S=πr2，圆面积随着半径的变化而变化。长方形的面积公式S=a×b，长方形的面积的变化与长、宽的变化有关。
6. 分类思想
分类思想是一种基本的数学思想，它是根据一定的标准，对事物进行有序划分和组织的过程。一般我们分类时要求满足互斥，无遗漏、最简便的原则。
数学中每一个概念都有其特有的本质特征， 它又是按照一定的规律扩展变化的， 它们之间都存在着质变到量变的关系。要正确认识这些概念， 就需要具体的概念依据、具体的标准、具体的分析， 这就是数学的分类思想， 即指按某种标准， 将研究的数学对象分成若干部分进行分析研究。
如整数以能否被2整除为例，可分为奇数和偶数；若以自然数的约数个数来分类，则可分为质数、合数和1。
练习：把下面的数按照不同的标准分成两类，你想到几种方法？
4、5、8、9、11、15、16
几何图形中的分类更常见，如学习“角的分类”时，涉及到许多概念，而这些概念之间的关系渗透着量变到质变的规律。其中几种角是按照度数的大小，从量变到质变来分类的，由此推理到在三角形中以最大一个角大于、等于和小于90°为分类标准，可分为钝角三角形、直角三角形和锐角三角形。而三角形以边的长短关系为分类标准，又可分为不等边三角形和等边三角形，等边三角形又可分为正三角形和等腰三角形。不同的分类标准会有不同的分类结果，从而产生新的数学概念和数学知识的结构。
7. 极限思想
事物是从量变到质变，极限方法的实质正是通过量变的无限过程达到质变。
教学“圆的面积和周长”中，“化圆为方”“化曲为直”的极限分割思路，在观察有限分割的基础上想象它们的极限状态，这样不仅使学生掌握公式，还能从曲与直的矛盾转化中萌发了无限逼近的极限思想。
现行小学教材中有许多处注意了极限思想的渗透：
在“自然数”、“奇数”、“偶数”这些概念教学时，教师可让学生体会自然数是数不完的，奇数、偶数的个数有无限多个，让学生初步体会“无限”思想。
在直线、射线、平行线的教学时，可让学生体会线的两端是可以无限延长的。从“数量”上看“无限多”：如2的倍数有“无限多”个。从“图形”上看“无限延伸性”：如角的两条边可无限延长。在循环小数这一部分内容，在教学 1÷3 = 0.333…是一循环小数，它的小数点后面的数字是写不完的，是无限的。
正如日本数学教育家米山国藏指出 “作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了，唯有深深铭记在头脑中的是数学的精神、数学的思想、研究方法等，这些随时随地发生作用，使学生终身受益。”数学思想方法是教学的灵魂，是教学的智慧，也是一种数学文化。数学思想位数学思维活动指示了方向，提供了策略和价值判断的标准。数学思想是点石成金的手段，“渔鱼”的策略，以数学思想为主线开展数学教学活动，让学生以不变应万变，可以更有效地培养学生的创新意识的实践能力。
参考文献
［1］小学数学新课程标准（2012年新版）
［2］陕西师范大学数学与信息科学学院罗新兵《数学符号的教与学》中学数学教学参考2002.第5期
［3］沈文选，杨清桃编著《数学思想领悟》哈尔滨工业大学出版社2008-1-1出版