数学灵感是人脑对数学对象结构关系的一种突发性领悟。在解答数学难题时，通常会遇到这样的情况：尽管从多角度、用各种方法去探索，还是百思不得其解。就在“山穷水尽疑无路”之际，灵感出现了，从而创造了“柳暗花明又一村”的美丽境界。
　　灵感与创造思维、灵感与数学发现究竟有何联系？我们可以看看下面几位数学家的数学灵感与数学发现的情况。
　　法国数学家笛卡儿早就有把相互独立的代数与几何结合起来的想法，经过很长时期的思考，却未找到合适的方法。1619年随军服务时他仍在思考。11月9日，在多瑙河畔的诺伊堡，他几天来整日沉迷在思考之中而不得其解，入睡后连连做梦，梦中迷迷糊糊地想到引入直角坐标系的方法。第二天，也即11月10日清晨，他醒后立即将梦中所得加以整理，终于创造了解析几何学，笛卡儿获得了成功。他从1617～1619年一直在酝酿，灵感却来源于一场梦。
　　法国著名数学家庞加莱在谈到他发现富克斯函数的变换方法时回忆说：“1880年，我离开当时居住的卡昂去作一次由矿业学校主办的地质考察旅行。旅途的奔波使我忘掉了我的数学工作，抵达库特塞斯后，我们乘公共马车到各处转转，正当我跨上踏板的瞬间，脑子里突然出现了一个想法，即我曾用来定义富克斯函数的诸变换跟非欧几何中的诸变换是一致的。”庞加莱回到住址后，马上把这一结果加以证明。这是在长时间紧张工作之后，思想放松时灵感的突然闪现，这是经过了约1年的苦思之后才获得成功的。
　　被称为数学王子的高斯为证明某一算术定理，曾苦思冥想达两年之久，后来突然得到一个想法，使他获得成功。高斯回忆说：“终于在两天前我成功了……像闪电一样，谜一下解开了。我自己也说不清楚是什么导线把原先的知识和我成功的东西连接起来。”尽管解开这个谜的想法很突然，但高斯本人经过两年的艰苦努力才为这个成功的到来做好了准备。
　　由以上对3位数学家数学灵感的出现而导致数学发现的描述，可以看出这种在长时期持续劳动后的某时刻出现的“突然领悟”是一种非逻辑的高层次的创造活动，亦即灵感思维活动。
　　灵感是不能靠偶然的机遇、守株待兔式的消极等待可以得到的。必须是执著追求、锲而不舍、百折不挠，才能有成功的一天。所谓“触景生情”“灵机一动”“眉头一皱，计上心来”，都是经过长期坚持不懈地创造性劳动而“偶然得之”的。巴斯加说：“机遇只偏爱有准备的头脑。”恰恰道出了此中的真谛。