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【摘 要】如今对资源系统分析方法很多，其中线性规划是优化方法中比较简单和基础的方法，同时也是数学规划的一个重要分支.在对资源系统规划管理中也得到了广泛应用.本文选用几个简单的例子，用数学软件来求解最优化问题，使得我们获取最好的投资方案.
【关键词】数学模型；线性规划；最优解
文章编号：ISSN1006—656X（2014）012-0056-03
一、前言
显然，上述模型属于多元函数的条件极值问题的范围，然而许多实际问题归结出的这种形式的优化模型，其决策变量个数n和约束条件个数m一般比较大，并且最优解往往在可行域Ω的边界上取得，这样就不可以简单的用微分方法求解，而数学规划是解决这类问题的有效方法[1]。
在这里，特别指出来，本文没有涉及数学规划等具体方法，只是重点从数学建模的角度来介绍，如何建立一些实际优化问题模型，然后利用一些数学软件求解，对所求得的结果进行一些简单的分析，从而来指导实际中遇到的问题，使得我们获益最大。
本文先通过一个简单的生产计划例子，说明如何建立这类问题的数学规划模型，然后利用软件求解并对运行结果做一定的分析。
二、应用举例
（一）奶制品加工计划
有一个奶制品加工厂用牛奶生产甲、乙两种奶制品，一桶牛奶可以在A类设备上用12小时加工成3千克的甲，可以在B类设备上用8小时加工成4千克的乙.根据市场需求，生产的甲、乙奶制品可以全部卖完，且每千克甲获利24元，乙可以获利16元.加工厂每天总共最多可以加工50桶牛奶，正式工人每天的劳动时间是480小时，并且A类设备最多可以加工100千克甲，B类设备的加工能力没有限制.现在怎样给该加工厂制定一个生产计划，使得加工厂每天获利达到最大，同时根据所运行的结果回答以下3个问题：
1.如果可以用35元买到1桶牛奶，那么应不应该做这种投资？
2.如果可以聘用临时工来增加劳动时间，那么工厂提供的薪水最高是每小时多少？
3.如果市场的需求变化，每公斤甲的获利增加到30元，市场计划是否改变？
分析问题：该优化问题的目标是要求每天的获利达到最大，而决策变量是工厂的生产计划，也就是每天该用多少桶牛奶生产甲，用多少桶牛奶生产乙.其中决策变量受到3个约束条件的限定：原料的供应、劳动的时间、甲类设备的加工能力.按照题目所给定的，将决策变量、目标函数和约束条件用数学符号和式子表示出来，就可以得到下面的模型[2]。
基本模型
在诸如生产计划这样的经济管理领域，许多问题都可以归结为数学模型里的线性规划问题来求解，因为他们具有很多的共同特点[3]。
连续性 每个决策变量的取值要求必须是连续的。
比例性 每个决策变量对目标函数的取值都必须是正比例关系的。
无关性 每个决策变量的取值都同其他的决策变量都是没有关系的。
连续性保证可以得到决策变量的实数最优解，而比例性和无关性则保证了目标函数和约束条件对于决策变量的线性性。
对于这个例子，建立的线性规划模型实际上就作了以下的假设：
1.加工甲、乙的牛奶桶数允许是任意的实数，比如说加工1.5桶甲有意义。
2.甲、乙两种奶制品的获利情况与它们的产量没有关系，也就是不考虑市场需求对价格的影响。
3.甲乙每千克的获利是与它们相互间产量是无关的常数，每桶牛奶加工出甲乙两种奶制品的数量和所需要的时间与他们的相互间的产量也是无关的。
这三条假设恰好保证了上述三条性质.不过，在现实生活中这些假设只是近似成立的，比如，甲乙两种奶制品的产量很少的时候，肯定会因为供给小于需求使得每千克的获利有所增加[4]。
根据输出的结果，我们知道，这个线性规划的最优解为，最优值是，也就是说用20桶牛奶生产甲，30桶牛奶生产乙可以获得最大的利润即3360元[6]。
深入分析
对于上面的输出结果，我们不仅可以知道最优解和最优值是多少，同时，还可以得到更多的有利于生产计划的信息，那么结合之前提出的3个问题，现在做一些简单的分析。
（1）3个不等式的右端可以视为3种“资源”：原料、劳动时间和甲类设备的加工能力.输出第7至10行“SLACK OR SURPLUS”给出了这3种资源在最优解下是不是还有剩余的原料.即原料和劳动时间全部用完，称作紧约束条件.而甲类设备还剩下40公斤的加工能力。称作非紧约束条件。
（2）成为紧约束条件的原料如果增加，获利肯定也会有所增长，该输出内容的第7至10行“DUAL PRICES”给出这三种原料在最优解的情况下，原料增加一个单位后获利的增加量.即增加1桶牛奶后可以多获利48元，劳动时间增加1个小时，则利益增长2元，然而，如果增加A类设备的加工能力就不会使得获益增加.称为影子价格。
那么我们在回头看看问题1：由于1桶牛奶的影子价格是48元，也就是增加1桶牛奶则多获益48元，现在用35元就可以买到1桶牛奶，很显然可以投资[7]。
再分析一下问题2：要保证多获益，那么必须要使得劳动时间的影子价格大于雇佣临时工的工资，也就是说，聘用的临时工工资每小时不可以多于2元。
（3）输出内容的13至17行“CURRENT COST”的“ALLOWABLE INCREASE” 和“ALLOWABLE DECREASE”给出了要使得最优解不变化的条件下，目标函数的允许变化范围：x1的系数为 ，即 ；x2的系数为 ，即 ，不过，这里需要注意以下，x1系数的允许范围，一定要在保证x2系数不变的前提下才有意义。
根据以上所述我们很容易解答第3个问题：假设每千克甲制品的获利增加为30元，那么x1的系数就变成了，在允许的范围内，则生产计划不需要改变。 （4）上面输出的第18至23行“CURRENT RHS”的“ALLOWABLE INCREASE”和“ALLOWABLE DECREASE”表示的是：影子价格有意义的条件下不等式右端的限制范围，即原材料至多增涨10桶，而劳动时间至多增涨53小时。
（二）证券投资计划
某商人打算用一笔资金进行投资，他能够购买的证券类型、信用等级、年限和收益情况如下表所示。依据国家法规，除了市政证券的收益可以免税，其它证券的收益必须以50%的税率上缴。同时根据实际情况，还有以下几个限制：首先购买政府和代办机构的证券总共至少要4百万元；其次，所购买的证券的平均信用等级不可以超过1.4；最后所有购买的证券平均年限必须小于5[8]。
1.假设该经理有1千万元资金，应该怎样去购买证券？
2.该商人最多可以借到1百万元，银行利率是2.75%，那么这个商人应如何投资？
问题分析 该问题的目标是如何合理分配投资使得利润最大，要作的决策是如何投资，即A，B，C，D，E各应该投资多少，决策受到4个条件的限制：现有资金、政代机构（政府和代办机构）、信用等级和到期年限.按照表格所给出的数据，很容易就得到下面的模型[9]。
将上面的不等式输入，利用LINDO软件求解，而且作灵敏性分析就可以得到下面的内容：
根据输出结果可以回答题目中的3个问题了。
（1）假设该商人拥有1千万元资产的话，应该将证券A，C，E分别投资2.181百万元，7.364百万元，0.454百万元，B，D不用投资，这样的话税后收益可以达到最大，为0.298百万元.
（2）从影子价格可以看出，如果多投资1百万元，那么获益会多0.0298百万元， （下转第40页上接第57页）
即每增加1元的投资，收益会增加0.0298元，而以2.75%的利率借款的话，1元的利息是0.0275元，很显然，所以应该借贷。具体方法就是把上述模型第2个约束条件右端的10改为11即可。这里就不再赘述了。
（3）在1千万元资金不变的情况下，由（1）的结果中目标函数系数的允许范围，也就是最优解不变的情况下，证券A的税前收益可以减少1.3%，增加0.35%，即A的税前收益在 内时，投资计划都不需要改变；而证券C的税前收益可以减少0.028%（因为要交50%的税），同理可以增加0.86%，所以C的税前收益在 ，但是C的税前收益减少为4.8%，不在允许的范围内，因此投资计划需要变化[10]。
三、结束语
本文只是选取了2个简单的例子来说明最优化模型的建立和解法。实际生活中的问题要复杂的很多，这里仅仅将复杂问题抽象化，转化为稍微简单的模型来求解，然后根据数学软件求解的结果，分析数据，从而来指导我们的实际生活，让我们更加理性的认识问题和投资，以便用最小的投资获益最大[11]。
参考文献：
[1]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型（第三版）[M].高等教育出版社，2003
[2]赵静，但琦.数学建模与实验（第三版）[M].高等教育出版社，2008
[3]吴洁.如何培养学生的文学鉴赏能力[J]. 吉林广播电视大学学报. 2002（01）
[4]李朝霞.开展青少年心理健康的体会[J]. 中国伤残医学. 2012（01）
[5]郭鹏，曹朝喜.关于运输问题最优解的进一步讨论[J]. 数学的实践与认识. 2006（05）
[6]郭秀英.论运输问题表上作业法 [J]. 科技与管理. 2007（03）
[7]郭鹏，曹朝喜.运输问题广义多重最优解析[J]. 西安工程科技学院学报. 2005（02）
[8]许宏侃.线性规划最优解后的决策[J].系统工程理论与实践.1986
[9]张彦.基于多目标优化随机权系数加权和的机组负荷分配[J].电网技术2008
[10]邓子琼，张晓明.企业建模方法学的分析与评价[J].石油化工高等学校学报2003
[11]翟建，李明树.软件过程建模方法研究[J].软件学报2009
【关键词】数学模型；线性规划；最优解
文章编号：ISSN1006—656X（2014）012-0056-03
一、前言
显然，上述模型属于多元函数的条件极值问题的范围，然而许多实际问题归结出的这种形式的优化模型，其决策变量个数n和约束条件个数m一般比较大，并且最优解往往在可行域Ω的边界上取得，这样就不可以简单的用微分方法求解，而数学规划是解决这类问题的有效方法[1]。
在这里，特别指出来，本文没有涉及数学规划等具体方法，只是重点从数学建模的角度来介绍，如何建立一些实际优化问题模型，然后利用一些数学软件求解，对所求得的结果进行一些简单的分析，从而来指导实际中遇到的问题，使得我们获益最大。
本文先通过一个简单的生产计划例子，说明如何建立这类问题的数学规划模型，然后利用软件求解并对运行结果做一定的分析。
二、应用举例
（一）奶制品加工计划
有一个奶制品加工厂用牛奶生产甲、乙两种奶制品，一桶牛奶可以在A类设备上用12小时加工成3千克的甲，可以在B类设备上用8小时加工成4千克的乙.根据市场需求，生产的甲、乙奶制品可以全部卖完，且每千克甲获利24元，乙可以获利16元.加工厂每天总共最多可以加工50桶牛奶，正式工人每天的劳动时间是480小时，并且A类设备最多可以加工100千克甲，B类设备的加工能力没有限制.现在怎样给该加工厂制定一个生产计划，使得加工厂每天获利达到最大，同时根据所运行的结果回答以下3个问题：
1.如果可以用35元买到1桶牛奶，那么应不应该做这种投资？
2.如果可以聘用临时工来增加劳动时间，那么工厂提供的薪水最高是每小时多少？
3.如果市场的需求变化，每公斤甲的获利增加到30元，市场计划是否改变？
分析问题：该优化问题的目标是要求每天的获利达到最大，而决策变量是工厂的生产计划，也就是每天该用多少桶牛奶生产甲，用多少桶牛奶生产乙.其中决策变量受到3个约束条件的限定：原料的供应、劳动的时间、甲类设备的加工能力.按照题目所给定的，将决策变量、目标函数和约束条件用数学符号和式子表示出来，就可以得到下面的模型[2]。
基本模型
在诸如生产计划这样的经济管理领域，许多问题都可以归结为数学模型里的线性规划问题来求解，因为他们具有很多的共同特点[3]。
连续性 每个决策变量的取值要求必须是连续的。
比例性 每个决策变量对目标函数的取值都必须是正比例关系的。
无关性 每个决策变量的取值都同其他的决策变量都是没有关系的。
连续性保证可以得到决策变量的实数最优解，而比例性和无关性则保证了目标函数和约束条件对于决策变量的线性性。
对于这个例子，建立的线性规划模型实际上就作了以下的假设：
1.加工甲、乙的牛奶桶数允许是任意的实数，比如说加工1.5桶甲有意义。
2.甲、乙两种奶制品的获利情况与它们的产量没有关系，也就是不考虑市场需求对价格的影响。
3.甲乙每千克的获利是与它们相互间产量是无关的常数，每桶牛奶加工出甲乙两种奶制品的数量和所需要的时间与他们的相互间的产量也是无关的。
这三条假设恰好保证了上述三条性质.不过，在现实生活中这些假设只是近似成立的，比如，甲乙两种奶制品的产量很少的时候，肯定会因为供给小于需求使得每千克的获利有所增加[4]。
根据输出的结果，我们知道，这个线性规划的最优解为，最优值是，也就是说用20桶牛奶生产甲，30桶牛奶生产乙可以获得最大的利润即3360元[6]。
深入分析
对于上面的输出结果，我们不仅可以知道最优解和最优值是多少，同时，还可以得到更多的有利于生产计划的信息，那么结合之前提出的3个问题，现在做一些简单的分析。
（1）3个不等式的右端可以视为3种“资源”：原料、劳动时间和甲类设备的加工能力.输出第7至10行“SLACK OR SURPLUS”给出了这3种资源在最优解下是不是还有剩余的原料.即原料和劳动时间全部用完，称作紧约束条件.而甲类设备还剩下40公斤的加工能力。称作非紧约束条件。
（2）成为紧约束条件的原料如果增加，获利肯定也会有所增长，该输出内容的第7至10行“DUAL PRICES”给出这三种原料在最优解的情况下，原料增加一个单位后获利的增加量.即增加1桶牛奶后可以多获利48元，劳动时间增加1个小时，则利益增长2元，然而，如果增加A类设备的加工能力就不会使得获益增加.称为影子价格。
那么我们在回头看看问题1：由于1桶牛奶的影子价格是48元，也就是增加1桶牛奶则多获益48元，现在用35元就可以买到1桶牛奶，很显然可以投资[7]。
再分析一下问题2：要保证多获益，那么必须要使得劳动时间的影子价格大于雇佣临时工的工资，也就是说，聘用的临时工工资每小时不可以多于2元。
（3）输出内容的13至17行“CURRENT COST”的“ALLOWABLE INCREASE” 和“ALLOWABLE DECREASE”给出了要使得最优解不变化的条件下，目标函数的允许变化范围：x1的系数为 ，即 ；x2的系数为 ，即 ，不过，这里需要注意以下，x1系数的允许范围，一定要在保证x2系数不变的前提下才有意义。
根据以上所述我们很容易解答第3个问题：假设每千克甲制品的获利增加为30元，那么x1的系数就变成了，在允许的范围内，则生产计划不需要改变。 （4）上面输出的第18至23行“CURRENT RHS”的“ALLOWABLE INCREASE”和“ALLOWABLE DECREASE”表示的是：影子价格有意义的条件下不等式右端的限制范围，即原材料至多增涨10桶，而劳动时间至多增涨53小时。
（二）证券投资计划
某商人打算用一笔资金进行投资，他能够购买的证券类型、信用等级、年限和收益情况如下表所示。依据国家法规，除了市政证券的收益可以免税，其它证券的收益必须以50%的税率上缴。同时根据实际情况，还有以下几个限制：首先购买政府和代办机构的证券总共至少要4百万元；其次，所购买的证券的平均信用等级不可以超过1.4；最后所有购买的证券平均年限必须小于5[8]。
1.假设该经理有1千万元资金，应该怎样去购买证券？
2.该商人最多可以借到1百万元，银行利率是2.75%，那么这个商人应如何投资？
问题分析 该问题的目标是如何合理分配投资使得利润最大，要作的决策是如何投资，即A，B，C，D，E各应该投资多少，决策受到4个条件的限制：现有资金、政代机构（政府和代办机构）、信用等级和到期年限.按照表格所给出的数据，很容易就得到下面的模型[9]。
将上面的不等式输入，利用LINDO软件求解，而且作灵敏性分析就可以得到下面的内容：
根据输出结果可以回答题目中的3个问题了。
（1）假设该商人拥有1千万元资产的话，应该将证券A，C，E分别投资2.181百万元，7.364百万元，0.454百万元，B，D不用投资，这样的话税后收益可以达到最大，为0.298百万元.
（2）从影子价格可以看出，如果多投资1百万元，那么获益会多0.0298百万元， （下转第40页上接第57页）
即每增加1元的投资，收益会增加0.0298元，而以2.75%的利率借款的话，1元的利息是0.0275元，很显然，所以应该借贷。具体方法就是把上述模型第2个约束条件右端的10改为11即可。这里就不再赘述了。
（3）在1千万元资金不变的情况下，由（1）的结果中目标函数系数的允许范围，也就是最优解不变的情况下，证券A的税前收益可以减少1.3%，增加0.35%，即A的税前收益在 内时，投资计划都不需要改变；而证券C的税前收益可以减少0.028%（因为要交50%的税），同理可以增加0.86%，所以C的税前收益在 ，但是C的税前收益减少为4.8%，不在允许的范围内，因此投资计划需要变化[10]。
三、结束语
本文只是选取了2个简单的例子来说明最优化模型的建立和解法。实际生活中的问题要复杂的很多，这里仅仅将复杂问题抽象化，转化为稍微简单的模型来求解，然后根据数学软件求解的结果，分析数据，从而来指导我们的实际生活，让我们更加理性的认识问题和投资，以便用最小的投资获益最大[11]。
参考文献：
[1]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型（第三版）[M].高等教育出版社，2003
[2]赵静，但琦.数学建模与实验（第三版）[M].高等教育出版社，2008
[3]吴洁.如何培养学生的文学鉴赏能力[J]. 吉林广播电视大学学报. 2002（01）
[4]李朝霞.开展青少年心理健康的体会[J]. 中国伤残医学. 2012（01）
[5]郭鹏，曹朝喜.关于运输问题最优解的进一步讨论[J]. 数学的实践与认识. 2006（05）
[6]郭秀英.论运输问题表上作业法 [J]. 科技与管理. 2007（03）
[7]郭鹏，曹朝喜.运输问题广义多重最优解析[J]. 西安工程科技学院学报. 2005（02）
[8]许宏侃.线性规划最优解后的决策[J].系统工程理论与实践.1986
[9]张彦.基于多目标优化随机权系数加权和的机组负荷分配[J].电网技术2008
[10]邓子琼，张晓明.企业建模方法学的分析与评价[J].石油化工高等学校学报2003
[11]翟建，李明树.软件过程建模方法研究[J].软件学报2009