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一、研究数学问题有效性的意义
新课程理念下的数学问题涵盖整个数学教学过程,如数学课堂教学的提问,课后留给学生思考和研究的问题:课后的实习作业中所提出的问题,每章章节后的问题,数学研究性学习的问题;在新教材中也处处可见问题:章导言中的问题,“观察”“思考”“探究”中的问题,实习作业中的问题,小结中的问题等等。
所以研究新教材中的数学问题,对于引导学生思考和探索,切实改进学生的学习方式,培养问题意识,孕育创新精神有重要意义。
传统教学模式下,教师往往通过创设数学问题,让学生自主地思考并回答教师所提出的问题,是数学教学的最重要的方式之一。但其缺点在于没有考虑数学问题的艺术和方式方法,没有注意知识和问题之间的逻辑联系,往往干扰学生思维,降低学习的有效性。
二、有效问题的标准和特征
什么样的数学问题才算“有效”?除了依据教学目标、数学学科特点,具有必要的形式外,至少应满足以下几个特征:
(1)可及性:跳一跳,够得到,问题的设计要符合学生认知规律、身心发展规律,包括学生的知识经验、能力水平、学习习惯、生活经历及环境,兴趣爱好等;
(2)启发性:问题应符合数学学科特点,激活思维的作用,使学生借助于这种启发,领悟数学实质,提炼数学思想方法;
(3)开放性:问题富有层次感,入手较易,开放性强,解决方案多,学生思维与创造的空间较大;
(4)挑战性:“问题”能引起学生的认知冲突,激发兴趣,促进学生积极参与;
(5)体验性:能给学生提供深刻体验,获得包括操作、探究的机会或其他数学体验,并有助于学生发现问题、提出问题;
(6)激励性:落实以学生为主体、教师为主导的教学理念,充分调动学生的学习积极性和兴趣,给学生尽可能多的成功体验。
三、有效提问的设计方法
美国教育学家普斯塔提出了善问“十字诀”, 数学教学中有效提问的设计可以借鉴这种方法,即假、例、比、替、除、可、想、组、六、类。现举例说明:
假:以“假如……”的方式和学生问答学习;
例:即多举例;
比:比较知识与知识间的异同;
替:让学生多想有什么是可以替代的;
除:用这样的公式启发:“除了……还有什么?”
可:可能会怎么样;
想:让学生想各种各样的情况;
组:把不同的知识组合在一起会如何;
六:就是“6W”检讨策略,即何事(What)、为何(Why)、何人(Who)、何时(When)、何处(Where)、如何(How);
类:是多和学生类推各种可能。
四、有效数学问题的案例分析
1.数学概念课有效问题案例分析
案例一:新课程人教A版必修1第一章《§1.2.2函数的表示法》第一节课
教学片段:挖掘新课程的练习题创设问题,正确理解概念
问题探究1:(课本P23练习1)如图,把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料,如果矩形的一边长为x,面积为y,请把y表示为x的函数。
问题探究2:如图矩形的矩形的面积为10cm,长为x,宽为y,对角线为d,周长为l,你能写出哪些函数关系式?
(要求独立思考写出函数式后,然后小组合作讨论交流,最后全班交流)。
上述问题一提出,每个合作小组都写出了如下一些式子:
小组1:(1)
小组2:
小组3:
……
然后我组织全班同学交流讨论哪些是函数式,哪些不是,课堂参与度很高。
问题探究3:(1)你能画出函数的图象并解释它的实际意义吗?
(2)你能写出函数的定义域吗?能画出它的图象吗?
问题探究4:你能否总结出函数图象的特点?如何检验一个图形是否是一个函数的图象?
教学反思:新课程强调课堂教学应以学生为主体,教师起引导作用。该问题组入口浅,思维层层深入,直击函数概念的本质,促进了学生更深层次的概念理解。
2.课后作业有效问题案例分析
案例二:新课程人教A版必修1第一章《§1.2.2函数的表示法》第一节课后作业
教学片段:课后作业,设计探究问题,巩固和延伸概念
问题探究1:已知一个函数的解析式为y=x2,它的值域为[1,4],这样的函数有多少个?试写出其中两个函数。
问题探究2:画出定义域为{x|-3≤x≤8,且x≠5},值域为{y|-1≤y≤2,y≠0}的一个函数的图象。(1)如果平面直角坐标系中点P(x,y)的坐标满足-3≤x≤8,-1≤y≤2,那么其中哪些点不能在图象上?(2)将你的图象和其他同学的相比较,有什么差别?(课本P25 B组第2题)
教学反思:概念形成过程是一个过程,通过课后作业拓展问题,促使学生对函数概念与表示进行深层次的思考认识,提升思维水平。通过实习作业,注重实际应用,在合作中感受数学的价值,提升数学学习兴趣。
3.数学公式课有效问题案例分析
案例三:新课程人教A版必修4第一章《§1.2.2诱导公式》第一节诱导公式的推导
教学片段:注重运用类比联想的方法,引导发现、探究问题
提出问题: , , , ;
问题探究1:观察并说明坐标系中、、、终边的关系。
问题探究2:猜想、、、正弦值的关系;
问题探究3:能否利用单位圆与任意角三角函数的定义验证你的猜想?
问题探究4:小组合作,探究以下问题:给定一个锐角
(1) 的终边有什么关系?它们的三角函数之间有什么关系?
(2) 的终边有什么关系?它们的三角函数之间有什么关系?
(3) 的终边有什么关系?它们的三角函数之间有什么关系?
(4) 的终边有什么关系?它们的三角函数之间有什么关系?
问题探究5:上述公式是在α为锐角的情况下推导出来的,如果把α扩展到的任意角时,公式是否仍成立?
问题探究6:你能概括出诱导公式的特点及其作用吗?
问题探究7:你能概括一下诱导公式的思想方法吗?
教学反思:设置问题串,从特殊到一般,从具体到抽象,运用类比联想的思维,利用任意角的三角函数与单位圆的联系,通过探究发现,自我尝试,运用、回顾反思这几个环节完成诱导公式的推导。
4.数学复习课有效问题案例分析
案例四:新课程人教A版必修1第一章《集合与函数》小结与复习
教学片段:以问题来呈现章节的复习,注重知识的系统性和联系性
以小组为单位,完成以下问题
1.小组讨论,画出本章的知识框图。
2.集合中元素特性有哪些?你能从不同的角度说明的含义吗?
3.函数的三要素是什么?y=f(x)的含义是什么?如何求函数解析式?
4.函数的表示法有哪些?分段函数表示几个函数?试写出一个分段函数并画出图像。
5.函数有哪些基本性质?你能举例说明吗?
6.提出几个你认为重要的问题,考一考看你的小组成员都会了吗?
7.提出几个你觉得困惑的问题,问一问看你的小组成员能解决吗?
8.本章学习你的成功经验是什么?不足之处是什么?怎样才能做得更好?
教学反思:传统复习课都是先罗列知识,再列举例题,使学生思维自始至终处于被动状态。本节复习课通过问题引导突出重点知识,通过小组讨论的形式,在小范围内更有针对性的完成查漏补缺,总结提升的教学目标。
五、创设有效问题的几点反思
(1)教师提出每一个问题都要留给学生一定的思考时间,因为一个好的数学问题都带有一定的思维性,学生必须经过认真思考一定时间后,才有可能做出比较正确的回答。
(2)教师创设的任何问题是否有效都应经过教学实践的检验。教师教学设计中的任何一问题都是一种“预问”,具有主观预测性,在实际教学过程中不可避免地会引发冲突(与学生认知特点相冲突,与实际情况相冲突)。所以要用动态发展的眼光看待自己创设的问题,及时作好教学反思,不断调整改进。
(3)教师创设一定的问题之后,要试着让学生自己设计问题,提出问题,则可加深学生的体验,加深对概念的理解和巩固。
(4)学生参与问题解决应兼顾自主与协作。教师既要关注学生是否主动提出研究和建议,学生是否全身心融入了小组的问题思考活动中,还要关注学生能否与他人良好合作、相互取长补短,只有在相互完善的协作过程中,学生之间的合作精神才会被增强。
(5)问题探讨活动是一个再创造过程,对学生本人来说都是发现过程,都是创造。对于学生的创造性的结论和方法应大力表扬肯定,有时即便不够完善也要多鼓励,提高学生探索知识的信心,培养学生的学习数学的兴趣和积极性。
问题是数学的心脏,是教学活动的载体,新课程数学教学中必须树立“以问题为中心”的意识,发挥教材的“源”功能,以人为本,创设有效的数学问题。不断反思探究问题的有效性,促进教与学方式的转变,才能更好的落实新课程理念。
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收稿日期:2010-07-19
新课程理念下的数学问题涵盖整个数学教学过程,如数学课堂教学的提问,课后留给学生思考和研究的问题:课后的实习作业中所提出的问题,每章章节后的问题,数学研究性学习的问题;在新教材中也处处可见问题:章导言中的问题,“观察”“思考”“探究”中的问题,实习作业中的问题,小结中的问题等等。
所以研究新教材中的数学问题,对于引导学生思考和探索,切实改进学生的学习方式,培养问题意识,孕育创新精神有重要意义。
传统教学模式下,教师往往通过创设数学问题,让学生自主地思考并回答教师所提出的问题,是数学教学的最重要的方式之一。但其缺点在于没有考虑数学问题的艺术和方式方法,没有注意知识和问题之间的逻辑联系,往往干扰学生思维,降低学习的有效性。
二、有效问题的标准和特征
什么样的数学问题才算“有效”?除了依据教学目标、数学学科特点,具有必要的形式外,至少应满足以下几个特征:
(1)可及性:跳一跳,够得到,问题的设计要符合学生认知规律、身心发展规律,包括学生的知识经验、能力水平、学习习惯、生活经历及环境,兴趣爱好等;
(2)启发性:问题应符合数学学科特点,激活思维的作用,使学生借助于这种启发,领悟数学实质,提炼数学思想方法;
(3)开放性:问题富有层次感,入手较易,开放性强,解决方案多,学生思维与创造的空间较大;
(4)挑战性:“问题”能引起学生的认知冲突,激发兴趣,促进学生积极参与;
(5)体验性:能给学生提供深刻体验,获得包括操作、探究的机会或其他数学体验,并有助于学生发现问题、提出问题;
(6)激励性:落实以学生为主体、教师为主导的教学理念,充分调动学生的学习积极性和兴趣,给学生尽可能多的成功体验。
三、有效提问的设计方法
美国教育学家普斯塔提出了善问“十字诀”, 数学教学中有效提问的设计可以借鉴这种方法,即假、例、比、替、除、可、想、组、六、类。现举例说明:
假:以“假如……”的方式和学生问答学习;
例:即多举例;
比:比较知识与知识间的异同;
替:让学生多想有什么是可以替代的;
除:用这样的公式启发:“除了……还有什么?”
可:可能会怎么样;
想:让学生想各种各样的情况;
组:把不同的知识组合在一起会如何;
六:就是“6W”检讨策略,即何事(What)、为何(Why)、何人(Who)、何时(When)、何处(Where)、如何(How);
类:是多和学生类推各种可能。
四、有效数学问题的案例分析
1.数学概念课有效问题案例分析
案例一:新课程人教A版必修1第一章《§1.2.2函数的表示法》第一节课
教学片段:挖掘新课程的练习题创设问题,正确理解概念
问题探究1:(课本P23练习1)如图,把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料,如果矩形的一边长为x,面积为y,请把y表示为x的函数。
问题探究2:如图矩形的矩形的面积为10cm,长为x,宽为y,对角线为d,周长为l,你能写出哪些函数关系式?
(要求独立思考写出函数式后,然后小组合作讨论交流,最后全班交流)。
上述问题一提出,每个合作小组都写出了如下一些式子:
小组1:(1)
小组2:
小组3:
……
然后我组织全班同学交流讨论哪些是函数式,哪些不是,课堂参与度很高。
问题探究3:(1)你能画出函数的图象并解释它的实际意义吗?
(2)你能写出函数的定义域吗?能画出它的图象吗?
问题探究4:你能否总结出函数图象的特点?如何检验一个图形是否是一个函数的图象?
教学反思:新课程强调课堂教学应以学生为主体,教师起引导作用。该问题组入口浅,思维层层深入,直击函数概念的本质,促进了学生更深层次的概念理解。
2.课后作业有效问题案例分析
案例二:新课程人教A版必修1第一章《§1.2.2函数的表示法》第一节课后作业
教学片段:课后作业,设计探究问题,巩固和延伸概念
问题探究1:已知一个函数的解析式为y=x2,它的值域为[1,4],这样的函数有多少个?试写出其中两个函数。
问题探究2:画出定义域为{x|-3≤x≤8,且x≠5},值域为{y|-1≤y≤2,y≠0}的一个函数的图象。(1)如果平面直角坐标系中点P(x,y)的坐标满足-3≤x≤8,-1≤y≤2,那么其中哪些点不能在图象上?(2)将你的图象和其他同学的相比较,有什么差别?(课本P25 B组第2题)
教学反思:概念形成过程是一个过程,通过课后作业拓展问题,促使学生对函数概念与表示进行深层次的思考认识,提升思维水平。通过实习作业,注重实际应用,在合作中感受数学的价值,提升数学学习兴趣。
3.数学公式课有效问题案例分析
案例三:新课程人教A版必修4第一章《§1.2.2诱导公式》第一节诱导公式的推导
教学片段:注重运用类比联想的方法,引导发现、探究问题
提出问题: , , , ;
问题探究1:观察并说明坐标系中、、、终边的关系。
问题探究2:猜想、、、正弦值的关系;
问题探究3:能否利用单位圆与任意角三角函数的定义验证你的猜想?
问题探究4:小组合作,探究以下问题:给定一个锐角
(1) 的终边有什么关系?它们的三角函数之间有什么关系?
(2) 的终边有什么关系?它们的三角函数之间有什么关系?
(3) 的终边有什么关系?它们的三角函数之间有什么关系?
(4) 的终边有什么关系?它们的三角函数之间有什么关系?
问题探究5:上述公式是在α为锐角的情况下推导出来的,如果把α扩展到的任意角时,公式是否仍成立?
问题探究6:你能概括出诱导公式的特点及其作用吗?
问题探究7:你能概括一下诱导公式的思想方法吗?
教学反思:设置问题串,从特殊到一般,从具体到抽象,运用类比联想的思维,利用任意角的三角函数与单位圆的联系,通过探究发现,自我尝试,运用、回顾反思这几个环节完成诱导公式的推导。
4.数学复习课有效问题案例分析
案例四:新课程人教A版必修1第一章《集合与函数》小结与复习
教学片段:以问题来呈现章节的复习,注重知识的系统性和联系性
以小组为单位,完成以下问题
1.小组讨论,画出本章的知识框图。
2.集合中元素特性有哪些?你能从不同的角度说明的含义吗?
3.函数的三要素是什么?y=f(x)的含义是什么?如何求函数解析式?
4.函数的表示法有哪些?分段函数表示几个函数?试写出一个分段函数并画出图像。
5.函数有哪些基本性质?你能举例说明吗?
6.提出几个你认为重要的问题,考一考看你的小组成员都会了吗?
7.提出几个你觉得困惑的问题,问一问看你的小组成员能解决吗?
8.本章学习你的成功经验是什么?不足之处是什么?怎样才能做得更好?
教学反思:传统复习课都是先罗列知识,再列举例题,使学生思维自始至终处于被动状态。本节复习课通过问题引导突出重点知识,通过小组讨论的形式,在小范围内更有针对性的完成查漏补缺,总结提升的教学目标。
五、创设有效问题的几点反思
(1)教师提出每一个问题都要留给学生一定的思考时间,因为一个好的数学问题都带有一定的思维性,学生必须经过认真思考一定时间后,才有可能做出比较正确的回答。
(2)教师创设的任何问题是否有效都应经过教学实践的检验。教师教学设计中的任何一问题都是一种“预问”,具有主观预测性,在实际教学过程中不可避免地会引发冲突(与学生认知特点相冲突,与实际情况相冲突)。所以要用动态发展的眼光看待自己创设的问题,及时作好教学反思,不断调整改进。
(3)教师创设一定的问题之后,要试着让学生自己设计问题,提出问题,则可加深学生的体验,加深对概念的理解和巩固。
(4)学生参与问题解决应兼顾自主与协作。教师既要关注学生是否主动提出研究和建议,学生是否全身心融入了小组的问题思考活动中,还要关注学生能否与他人良好合作、相互取长补短,只有在相互完善的协作过程中,学生之间的合作精神才会被增强。
(5)问题探讨活动是一个再创造过程,对学生本人来说都是发现过程,都是创造。对于学生的创造性的结论和方法应大力表扬肯定,有时即便不够完善也要多鼓励,提高学生探索知识的信心,培养学生的学习数学的兴趣和积极性。
问题是数学的心脏,是教学活动的载体,新课程数学教学中必须树立“以问题为中心”的意识,发挥教材的“源”功能,以人为本,创设有效的数学问题。不断反思探究问题的有效性,促进教与学方式的转变,才能更好的落实新课程理念。
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收稿日期:2010-07-19