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摘要： 基于复刚度传递径向多圈层平面应变模型，采用黏性阻尼模型描述桩周土材料阻尼，考虑地基土纵向成层特性，建立径向非均质、纵向成层土中变截面和变模量管桩纵向振动简化分析模型，采用Laplace变换和复刚度传递方法，递推得出桩周、桩芯土体与管桩桩体界面处复刚度，进而利用桩土完全耦合条件和阻抗函数传递性，推导得到变模量和变截面管桩桩顶动力阻抗解析解答，并与已有相关解析解进行退化验证其合理性；通过进一步参数化分析探讨了桩身变模量段、缩颈、扩径及变模量、变截面位置对管桩纵向振动动力响应特性的影响规律，可为具体工程实践提供理论指导和参考作用。
关键词： 管桩； 动力响应； 复刚度传递模型； 径向非均质； 黏性阻尼
中图分类号：TU473.1
文献标志码： A
文章编号： 1004-4523（2018）04-0707 11
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.04.019
引 言
纵向成层土中的桩基相互作用体系耦合振动特性研究是桩基抗震、防震设计及桩基动力检测等工程技术领域的理论基础，一直以来亦是土动力学、岩土工程和结构-地基相互作用领域的交叉热点问题[1-2]。在桩基施工过程中，由于挤土、松弛以及其他扰动因素的影响，使得桩周土体沿桩基径向存在一定不均匀性，即径向非均质效应[3-4]。为考虑此种径向非均质效应，国内外诸多学者展开了较多的相关研究工作。首先，Novak等[5-6]基于滞回阻尼平面应变模型将桩周土体分为单层内部扰动区域和外部半无限大未扰动区域，假设内部区域土体质量为零，首次推导得出了能简化考虑单层内部区域土体软化效应的桩基纵向和扭转阻抗解析解答，初步分析了桩周土体内外区域非均质性对桩-土耦合振动特性的影响规律。在此基础上，Veletsos等[7-8]通过进一步考虑桩周土单层内部扰动区域土体质量惯性效应，发展得出了径向非均质性桩周土中桩基纵向阻抗解析解答，并分析了单层内部扰动区域土体软化程度对桩基振动特性的影响规律。Nogami等[9-10]基于平面应变模型计算得出远场区域土体复刚度对应的弹簧和阻尼系数，近场采用非线性Winkler模型，两者结合建立了桩-土耦合系统，在此基础上进行了考虑桩周土径向非均质性的桩基纵向振动特性分析。Doston等[11]通过单纯定义桩周土内部区域（单层）土体剪切模量呈指数变化函数，利用平面应变理论，给出了桩周径向非均质土体中桩基纵向和扭转阻抗的解析表达式。Vaziri等[12]通过定义内部区域土体剪切模量为随径向位移呈抛物线变化函数，且与外部区域剪切模量连续，进行了考虑桩周土径向非均质性的桩基纵向振动特性分析。Han等[13-14]基于土体剪切模量为随径向位移抛物线函数来描述土体软化和硬化，分析了桩周土体径向软化和硬化非均质性对桩土耦合振动特性的影响规律。EI Naggar[15]基于平面应变模型求得远场区域复刚度（即看成弹簧和阻尼器组成），将近场区域简化为弹簧、阻尼器及滑移块体系，建立了能考虑桩周的非均匀性的桩土耦合振动模型。进一步地，EI Naggar[16]将内部区域沿径向分为N个圈层，通过平面应变模型求得的每圈层复刚度串联建立内部区域复刚度体系再与外部区域采用平面应变模型得到的复刚度串联，来考虑桩周土的径向不均匀性，进行了考虑桩周土径向非均质性的桩土耦合纵向振动特性分析。王奎华和杨冬英等[17-18]指出EI Naggar模型受桩周土剪切模量影响很小，与实测曲线和已有理论结果不符，有必要对其进行修正。同时，Wang和Yang等[19-20]提出了基于滞回阻尼模型的径向复刚度传递的多圈层平面应变模型，通过圈层间复刚度递推求得桩周土体对桩体作用的复刚度，在此基础上建立了能考虑桩周土径向非均质性的桩土耦合振动系统，进行了桩顶振动特性的频域和时域响应分析。桩基纵向振动理论应用到工程检测中重点是针对于非完整桩，基于此，王奎华等[21]、王宏志等[22]、刘东甲等[23]、冯世进等[24]研究了纵向成层土中变模量、变截面实心桩的动力响应，使得低应变动测方法具有更完善的理论指导。
以上研究均是针对实心桩展开，而对于大直径管桩，由于桩芯土的存在，必然使得其与实心桩的振动特性存在差异。丁选明等[25]和郑长杰等[26]同时考虑桩周土和桩芯土，对径向均质土中完整管桩振动特性进行求解，并与实心桩结果进行对比，说明了在竖向荷载作用下管桩表现出与实心桩动力特性的不同。同样的管桩在施工过程中同样会引起土体扰动，Li等[27]同时考虑土层纵向和径向非均质，土体采用滞回阻尼模型，基于多圈层复刚度传递模型，对完整管桩-土耦合纵向振动响应特性进行求解分析。
不难看出，考虑桩身非完整性的研究成果大多集中于实体桩，同时在考虑土体径向非均质效应时均假定土体材料阻尼为滞回阻尼。而对非谐和激振问题特别是瞬态激振条件下桩体时域振动响应问题，土阻尼力与振幅有关也与应变速率有关，采用滞回阻尼模型在概念上会引起矛盾，此时用黏性阻尼模型更为合适 [28-32]。因此本文考虑桩周土体施工扰动，土体采用黏性阻尼模型，基于复刚度传递多圈层平面应变模型，对任意激振力作用下径向非均质、纵向成层黏性阻尼土中变截面、变模量管桩纵向振动特性进行解析理论研究。
1 定解问题数学模型的建立
1.1 计算简图及基本假定
将管桩-土体耦合振动系统沿纵向由地基土层界面及桩身缺陷截面分成m段（如果截面变化处不与土层分界线重合，每个截面变化处对应一条虚拟的土层分界线），将桩长为H管桩自桩身底部由下往上依次編号为1，2，…，i，…，m层段，各层段厚度分别为l1，l2，…，li，…，lm，各层段顶部埋深分别为h1，h2，…，hi，…，hm。第i层段管桩内径、外径、桩段截面积、密度和弹性模量分别为ri0，ri1，APi，ρPi和EPi，桩底黏弹性支承刚度系数为δp，kp。在纵向第i层段中，桩芯土体剪切模量、黏性阻尼系数和密度分别为Gi0，ηi0，ρi0。 同时，将纵向第i层段桩周土体沿径向划分为内部扰动区域和外部区域，桩周土体内部扰动区域径向厚度为bi，并将内部扰动区域沿径向划分n个圈层，第j圈层土体剪切模量、黏性阻尼系数和密度分别为Gij，ηij，ρij，第j-1个圈层与第j圈层的界面处半径为rij。特别地，内部区域和外部区域界面处的半径为ri（n+1），外部区域则为径向半无限均匀黏弹性介质。管桩桩顶作用任意激振力p（t），第i层段桩芯土和桩周土对桩身产生的切应力分别为fS0i和fS1i，桩土耦合振动体系力学简化模型如图1所示。
基本假定如下：
（1）管桩第i段桩身假定为均质等截面弹性体，桩体底部为黏弹性支承，桩身相邻层段之间满足力平衡和位移连续条件。
（2）第i层段桩周土体内部扰动区域沿径向所划分的n个圈层和桩芯土体都为均质、各向同性黏弹性体；外部区域为径向半无限均匀黏弹性介质。
（3）管桩-土体耦合振动系统满足线弹性和小变形条件。
（4）在各层段中，桩周土、桩芯土与管桩内外桩壁土界面上产生的剪应力，分别通过各自桩土界面剪切复刚度传递给桩身，桩土之间完全接触。
（5）各层段中桩周土剪切波速从外部区域至内部扰动区域最内圈层呈现线性变化，即剪切模量呈现二次函数变化规律，桩周土体黏性阻尼系数与剪切模量相同。
1.2 定解问题
3 算例分析
本文算例基于图1所示黏弹性土体中管桩耦合振动力学模型，采用前述推导求解所得基于黏性阻尼模型径向非均质、纵向成层桩周土中变模量和变截面管桩桩顶纵向振动动力阻抗和时域速度响应函数解答。
已有研究结果表明，当桩周土体径向圈层数量n=20以上时[16]，可以忽略划分圈层数对计算结果的影响。这样，在后续分析中将管桩-土体耦合振动系统沿纵向分成5个层段，各层段中的桩周土体内部区域则统一沿径向划分为20个圈层。
3.1 解答合理性验证
为了验证本文推导所得径向非均质、纵向成层黏性阻尼土体中变模量和变截面管桩桩顶纵向振动动力阻抗解析解答合理性，将径向非均质、纵向成层桩周土退化成均质土，变模量和变截面管桩退化成均匀桩，并与文献[33]已有均质土中均匀管桩纵向动力阻抗解析解进行对比验证。如图2所示为本文推导所得管桩纵向振动动力阻抗退化解随无量纲频率θ变化曲线，及其与文献[33]已有阻抗解的对比情况。从图中不难看出，本文所推导的双向非均质土体中变模量和变截面管桩纵向振动动力阻抗退化解答曲线与文献[33]中对应结果吻合。
3.2 桩身缺陷对桩顶动力响应影响分析
夹泥、空洞和离析等缺陷均会引起桩身模量突变，为分析此类缺陷对桩顶动力响应的影响，参照文献[21]的方法将桩身缺陷概化为一模量突变段，并定义λ为缺陷段桩身模量与正常段桩身模量之比。假设在埋深3.8 m处存在一长度为1 m的模量突变段，图3所示为桩身模量突变对管桩桩顶动力响应特性的影响。由图可见，均质管桩（λ=1.0时）桩顶速度导纳曲线振幅逐渐衰减，而变模量管桩桩身存在反射界面，其桩顶速度导纳曲线振幅存在叠加现象，即具有大、小峰值交替循环特征。相较于均匀桩而言，当λ<1时，桩顶速度导纳曲线的大、小峰幅值差随λ减小而增大，共振频率随λ减小而减小，且均小于均质桩共振频率。（当频率接近桩土系统的固有频率时产生共振，共振频率则对应速度导纳曲线上振幅极大值处）。当λ>1时，桩顶速度导纳曲线上的大、小峰幅值差和共振频率均随λ增加而增大，且对应共振频率均大于均质桩情况。桩顶反射波曲线中显著呈现出模量突变界面处的反射信号。具体地，当λ>1时，由于桩身模量在突变段上界面处增大，从而呈现出与桩尖处反相的反射信号，在突变段下界面处桩身弹性模量减小则呈现出与桩尖处同相的反射信號，即当λ>1时，模量突变界面反射信号特征为先反相后同相。相反地，当λ<1时，模量突变界面反射信号特征为先同相后反相。
图4所示为管桩桩身模量突变段深度位置对桩顶动力响应特性的影响。由图可见，管桩桩身模量突变段位置对桩顶速度导纳曲线影响显著。具体地，较均质桩而言，管桩桩身模量突变段位置深度越大，其桩顶速度导纳曲线中的大、小峰幅值差越小，其对速度导纳曲线的峰值水平影响亦越小。由反射波曲线可以看出，管桩桩身模量突变段位置深度越小，桩身模量突变界面处反射波信号出现的时间越早，反射信号幅值水平也越高。
为分析桩身缩颈对桩顶动力响应特性的影响规律，假设在埋深3.8 m处存在一长度为1 m的缩颈段，管桩桩身等壁厚缩颈的内、外径工况变化如表1所列，其中工况Case1为均匀截面桩工况。图5所示为所列内、外径工况下管桩桩顶速度导纳和反射波曲线变化情况。
综合图5和表1可知，相对于均匀截面桩而言，缩颈桩速度导纳曲线呈现大、小峰值交替现象。在所列各工况中，仅外径减小引起的速度导纳曲线大、小峰幅值差最大，而外径减小且内径增大工况次之，仅内径增大引起的大小峰值幅值差则最小。管桩桩顶反射波曲线显著呈现出桩身缩颈界面处的反射信号。具体地，由于桩身截面在缩颈段上界面处减小，从而呈现同相反射信号，在缩颈段下界面处桩身截面增大则呈现反相反射信号。即桩身出现缩颈段时，缩颈段界面反射信号特征为先同相后反相。此外，较均匀截面桩而言，桩身缩颈段的存在，使得桩尖反射波信号幅值水平降低。
图6所示为管桩桩身缩颈段深度位置对桩顶动力响应特性的影响情况。由图可见，管桩桩身缩颈段深度位置对桩顶速度导纳曲线影响显著。具体地，较均匀截面桩而言，管桩桩身缩颈段位置深度越大，其桩顶速度导纳曲线中的大、小峰幅值差越小，其对速度导纳曲线的峰值水平影响亦越小。由反射波曲线可以看出，管桩桩身缩颈段位置深度越小，桩身缩颈段界面处反射波信号出现的时间越早，反射信号幅值水平也越高。
为分析桩身扩颈对桩顶动力响应特性的影响规律，假设在埋深3.8 m处存在一长度为1 m的扩颈段，管桩桩身等壁厚扩颈的内、外径工况变化如表2所列，其中工况Case5为均匀截面桩工况。图7所示为所列内、外径工况下管桩桩顶速度导纳和反射波曲线变化情况。综合图7和表2可知，相对于均匀截面管桩而言，扩颈管桩桩顶速度导纳曲线呈现大、小峰值交替现象。在所列各工况中，仅内径减小引起的速度导纳曲线大、小峰幅值差最大，而仅外径增大工况次之，外径增大且内径减小工况引起的大小峰值幅值差则最小。管桩桩顶反射波曲线显著呈现出桩身扩颈界面处的反射信号。具体地，由于桩身截面在扩颈段上界面处增大，从而呈现出与桩尖处反相的反射信号，在扩颈段下界面处桩身截面减小则呈现出与桩尖处同相的反射信号。即桩身出现扩颈段时，扩径段界面反射信号特征为先反相后同相。 圖8所示为管桩桩身扩颈段深度位置对桩顶动力响应特性的影响情况。由图可见，管桩桩身扩颈段深度位置对桩顶速度导纳曲线影响显著。具体地，较均匀截面桩而言，管桩桩身扩颈段位置深度越大，其桩顶速度导纳曲线中的大、小峰幅值差越小，其对速度导纳曲线的峰值水平影响亦越小。由反射波曲线可以看出，管桩桩身扩颈段位置深度越小，桩身扩颈段界面处反射波信号出现的时间越早，反射信号幅值水平也越高。
4 结 论
本文考虑桩周土体径向施工扰动效应，基于黏性阻尼土体平面应变模型和复刚度传递法，推导得出了任意激振力作用下径向非均质、纵向成层的黏性阻尼土中管桩纵向振动动力阻抗和速度导纳频域解析解答，以及速度时域响应半解析解答，并将本文解与均质土中管桩已有解答进行了退化对比验证，在此基础上，分别探讨了桩身变模量、缩颈和扩径对桩顶纵向动力响应特性的影响规律，计算分析结果表明：
（1）相对于均质桩而言，存在模量突变段管桩的桩顶速度导纳曲线呈现大、小峰交替现象。当变模量系数λ<1时，桩顶速度导纳曲线的大、小峰幅值差随λ减小而增大，共振频率随λ减小而减小，且均小于均质桩共振频率。相对于桩尖处反射信号而言，模量突变界面反射信号特征为先反相后同相。当变模量系数λ>1时，桩顶速度导纳曲线上的大、小峰幅值差和共振频率均随λ增加而增大，且对应共振频率均大于均质桩情况。而模量突变界面反射信号特征则为先同相后反相。
（2）相对于均匀截面桩而言，缩颈管桩桩顶速度导纳曲线呈现大、小峰值交替现象。在所列各工况中，仅外径减小引起的速度导纳曲线的大、小峰幅值差最大，而仅内径增大引起的大小峰值幅值差则最小。管桩桩顶反射波曲线显著呈现出桩身缩颈界面处的反射波信号。相对于桩尖处反射信号而言，缩颈段界面反射信号特征为先同相后反相。此外，较均匀截面桩而言，桩身缩颈段的存在，使得桩尖反射波信号幅值水平降低。
（3）相对于均匀截面管桩而言，扩颈管桩桩顶速度导纳曲线呈现大、小峰值交替现象。在所列各工况中，仅内径减小引起的桩顶速度导纳曲线大、小峰幅值差最大，而外径增大且内径减小工况引起的大小峰值幅值差则最小。管桩桩顶反射波曲线显著呈现出桩身扩颈界面处的反射波信号。相对于桩尖处反射信号而言，扩颈段界面反射信号特征为先反相后同相。
（4）桩身模量突变段、缩颈段和扩径段位置深度越大，其对桩顶速度导纳曲线的峰值影响越小，且对应的大、小峰幅值差亦越小。对于桩顶反射波曲线而言，模量突变段、缩颈段和扩径段位置深度越小，各自对应的桩身缺陷段界面处反射波信号出现时间越早，反射信号幅值水平也越高。
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Abstract： A simplified mechanical model of vertical vibration of the pipe pile embedded in radially inhomogeneous and longitudinally layered viscoelastic soil considering both the variations of cross-section and modulus along the pile shaft is proposed， by employing the viscous damping model and the plane stain model of annular complex stiffness transfer. Firstly， the complex stiffness at the interface between soil and pile is derived based on Laplace transform and complex stiffness transfer method. Secondly， the analytical solutions for dynamic impedance， velocity admittance and reflected wave signal at the pile head are obtained by using the pile-soil compatibility condition of pipe pile and radial inhomogeneous surrounding soil. Furthermore， the obtained analytical solution for dynamic impedance at the pile head is also reduced to verify its validity with existing solution. Finally，an extensive parametric analysis is conducted to investigated the effects of the defective pile segments with variable modulus， necking and expanding， and the corresponding defect locations of pile shaft on the dynamic response at the pile head of the pipe pile embedded in radially inhomogeneous and longitudinal layered viscoelastic soil， which can provide reference and guide for specific engineering practice.
Key words： pipe pile； dynamic response； complex stiffness transfer model； radial heterogeneity； viscous damping
作者簡介：
崔春义（1978—），男，副教授，博士后。E-mail： cuichunyi@dlmu.edu.cn
通讯作者：王科盛（1978—），男，博士，副教授。E-mail： keshengwang@uestc.edu.cn
关键词： 管桩； 动力响应； 复刚度传递模型； 径向非均质； 黏性阻尼
中图分类号：TU473.1
文献标志码： A
文章编号： 1004-4523（2018）04-0707 11
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.04.019
引 言
纵向成层土中的桩基相互作用体系耦合振动特性研究是桩基抗震、防震设计及桩基动力检测等工程技术领域的理论基础，一直以来亦是土动力学、岩土工程和结构-地基相互作用领域的交叉热点问题[1-2]。在桩基施工过程中，由于挤土、松弛以及其他扰动因素的影响，使得桩周土体沿桩基径向存在一定不均匀性，即径向非均质效应[3-4]。为考虑此种径向非均质效应，国内外诸多学者展开了较多的相关研究工作。首先，Novak等[5-6]基于滞回阻尼平面应变模型将桩周土体分为单层内部扰动区域和外部半无限大未扰动区域，假设内部区域土体质量为零，首次推导得出了能简化考虑单层内部区域土体软化效应的桩基纵向和扭转阻抗解析解答，初步分析了桩周土体内外区域非均质性对桩-土耦合振动特性的影响规律。在此基础上，Veletsos等[7-8]通过进一步考虑桩周土单层内部扰动区域土体质量惯性效应，发展得出了径向非均质性桩周土中桩基纵向阻抗解析解答，并分析了单层内部扰动区域土体软化程度对桩基振动特性的影响规律。Nogami等[9-10]基于平面应变模型计算得出远场区域土体复刚度对应的弹簧和阻尼系数，近场采用非线性Winkler模型，两者结合建立了桩-土耦合系统，在此基础上进行了考虑桩周土径向非均质性的桩基纵向振动特性分析。Doston等[11]通过单纯定义桩周土内部区域（单层）土体剪切模量呈指数变化函数，利用平面应变理论，给出了桩周径向非均质土体中桩基纵向和扭转阻抗的解析表达式。Vaziri等[12]通过定义内部区域土体剪切模量为随径向位移呈抛物线变化函数，且与外部区域剪切模量连续，进行了考虑桩周土径向非均质性的桩基纵向振动特性分析。Han等[13-14]基于土体剪切模量为随径向位移抛物线函数来描述土体软化和硬化，分析了桩周土体径向软化和硬化非均质性对桩土耦合振动特性的影响规律。EI Naggar[15]基于平面应变模型求得远场区域复刚度（即看成弹簧和阻尼器组成），将近场区域简化为弹簧、阻尼器及滑移块体系，建立了能考虑桩周的非均匀性的桩土耦合振动模型。进一步地，EI Naggar[16]将内部区域沿径向分为N个圈层，通过平面应变模型求得的每圈层复刚度串联建立内部区域复刚度体系再与外部区域采用平面应变模型得到的复刚度串联，来考虑桩周土的径向不均匀性，进行了考虑桩周土径向非均质性的桩土耦合纵向振动特性分析。王奎华和杨冬英等[17-18]指出EI Naggar模型受桩周土剪切模量影响很小，与实测曲线和已有理论结果不符，有必要对其进行修正。同时，Wang和Yang等[19-20]提出了基于滞回阻尼模型的径向复刚度传递的多圈层平面应变模型，通过圈层间复刚度递推求得桩周土体对桩体作用的复刚度，在此基础上建立了能考虑桩周土径向非均质性的桩土耦合振动系统，进行了桩顶振动特性的频域和时域响应分析。桩基纵向振动理论应用到工程检测中重点是针对于非完整桩，基于此，王奎华等[21]、王宏志等[22]、刘东甲等[23]、冯世进等[24]研究了纵向成层土中变模量、变截面实心桩的动力响应，使得低应变动测方法具有更完善的理论指导。
以上研究均是针对实心桩展开，而对于大直径管桩，由于桩芯土的存在，必然使得其与实心桩的振动特性存在差异。丁选明等[25]和郑长杰等[26]同时考虑桩周土和桩芯土，对径向均质土中完整管桩振动特性进行求解，并与实心桩结果进行对比，说明了在竖向荷载作用下管桩表现出与实心桩动力特性的不同。同样的管桩在施工过程中同样会引起土体扰动，Li等[27]同时考虑土层纵向和径向非均质，土体采用滞回阻尼模型，基于多圈层复刚度传递模型，对完整管桩-土耦合纵向振动响应特性进行求解分析。
不难看出，考虑桩身非完整性的研究成果大多集中于实体桩，同时在考虑土体径向非均质效应时均假定土体材料阻尼为滞回阻尼。而对非谐和激振问题特别是瞬态激振条件下桩体时域振动响应问题，土阻尼力与振幅有关也与应变速率有关，采用滞回阻尼模型在概念上会引起矛盾，此时用黏性阻尼模型更为合适 [28-32]。因此本文考虑桩周土体施工扰动，土体采用黏性阻尼模型，基于复刚度传递多圈层平面应变模型，对任意激振力作用下径向非均质、纵向成层黏性阻尼土中变截面、变模量管桩纵向振动特性进行解析理论研究。
1 定解问题数学模型的建立
1.1 计算简图及基本假定
将管桩-土体耦合振动系统沿纵向由地基土层界面及桩身缺陷截面分成m段（如果截面变化处不与土层分界线重合，每个截面变化处对应一条虚拟的土层分界线），将桩长为H管桩自桩身底部由下往上依次編号为1，2，…，i，…，m层段，各层段厚度分别为l1，l2，…，li，…，lm，各层段顶部埋深分别为h1，h2，…，hi，…，hm。第i层段管桩内径、外径、桩段截面积、密度和弹性模量分别为ri0，ri1，APi，ρPi和EPi，桩底黏弹性支承刚度系数为δp，kp。在纵向第i层段中，桩芯土体剪切模量、黏性阻尼系数和密度分别为Gi0，ηi0，ρi0。 同时，将纵向第i层段桩周土体沿径向划分为内部扰动区域和外部区域，桩周土体内部扰动区域径向厚度为bi，并将内部扰动区域沿径向划分n个圈层，第j圈层土体剪切模量、黏性阻尼系数和密度分别为Gij，ηij，ρij，第j-1个圈层与第j圈层的界面处半径为rij。特别地，内部区域和外部区域界面处的半径为ri（n+1），外部区域则为径向半无限均匀黏弹性介质。管桩桩顶作用任意激振力p（t），第i层段桩芯土和桩周土对桩身产生的切应力分别为fS0i和fS1i，桩土耦合振动体系力学简化模型如图1所示。
基本假定如下：
（1）管桩第i段桩身假定为均质等截面弹性体，桩体底部为黏弹性支承，桩身相邻层段之间满足力平衡和位移连续条件。
（2）第i层段桩周土体内部扰动区域沿径向所划分的n个圈层和桩芯土体都为均质、各向同性黏弹性体；外部区域为径向半无限均匀黏弹性介质。
（3）管桩-土体耦合振动系统满足线弹性和小变形条件。
（4）在各层段中，桩周土、桩芯土与管桩内外桩壁土界面上产生的剪应力，分别通过各自桩土界面剪切复刚度传递给桩身，桩土之间完全接触。
（5）各层段中桩周土剪切波速从外部区域至内部扰动区域最内圈层呈现线性变化，即剪切模量呈现二次函数变化规律，桩周土体黏性阻尼系数与剪切模量相同。
1.2 定解问题
3 算例分析
本文算例基于图1所示黏弹性土体中管桩耦合振动力学模型，采用前述推导求解所得基于黏性阻尼模型径向非均质、纵向成层桩周土中变模量和变截面管桩桩顶纵向振动动力阻抗和时域速度响应函数解答。
已有研究结果表明，当桩周土体径向圈层数量n=20以上时[16]，可以忽略划分圈层数对计算结果的影响。这样，在后续分析中将管桩-土体耦合振动系统沿纵向分成5个层段，各层段中的桩周土体内部区域则统一沿径向划分为20个圈层。
3.1 解答合理性验证
为了验证本文推导所得径向非均质、纵向成层黏性阻尼土体中变模量和变截面管桩桩顶纵向振动动力阻抗解析解答合理性，将径向非均质、纵向成层桩周土退化成均质土，变模量和变截面管桩退化成均匀桩，并与文献[33]已有均质土中均匀管桩纵向动力阻抗解析解进行对比验证。如图2所示为本文推导所得管桩纵向振动动力阻抗退化解随无量纲频率θ变化曲线，及其与文献[33]已有阻抗解的对比情况。从图中不难看出，本文所推导的双向非均质土体中变模量和变截面管桩纵向振动动力阻抗退化解答曲线与文献[33]中对应结果吻合。
3.2 桩身缺陷对桩顶动力响应影响分析
夹泥、空洞和离析等缺陷均会引起桩身模量突变，为分析此类缺陷对桩顶动力响应的影响，参照文献[21]的方法将桩身缺陷概化为一模量突变段，并定义λ为缺陷段桩身模量与正常段桩身模量之比。假设在埋深3.8 m处存在一长度为1 m的模量突变段，图3所示为桩身模量突变对管桩桩顶动力响应特性的影响。由图可见，均质管桩（λ=1.0时）桩顶速度导纳曲线振幅逐渐衰减，而变模量管桩桩身存在反射界面，其桩顶速度导纳曲线振幅存在叠加现象，即具有大、小峰值交替循环特征。相较于均匀桩而言，当λ<1时，桩顶速度导纳曲线的大、小峰幅值差随λ减小而增大，共振频率随λ减小而减小，且均小于均质桩共振频率。（当频率接近桩土系统的固有频率时产生共振，共振频率则对应速度导纳曲线上振幅极大值处）。当λ>1时，桩顶速度导纳曲线上的大、小峰幅值差和共振频率均随λ增加而增大，且对应共振频率均大于均质桩情况。桩顶反射波曲线中显著呈现出模量突变界面处的反射信号。具体地，当λ>1时，由于桩身模量在突变段上界面处增大，从而呈现出与桩尖处反相的反射信号，在突变段下界面处桩身弹性模量减小则呈现出与桩尖处同相的反射信號，即当λ>1时，模量突变界面反射信号特征为先反相后同相。相反地，当λ<1时，模量突变界面反射信号特征为先同相后反相。
图4所示为管桩桩身模量突变段深度位置对桩顶动力响应特性的影响。由图可见，管桩桩身模量突变段位置对桩顶速度导纳曲线影响显著。具体地，较均质桩而言，管桩桩身模量突变段位置深度越大，其桩顶速度导纳曲线中的大、小峰幅值差越小，其对速度导纳曲线的峰值水平影响亦越小。由反射波曲线可以看出，管桩桩身模量突变段位置深度越小，桩身模量突变界面处反射波信号出现的时间越早，反射信号幅值水平也越高。
为分析桩身缩颈对桩顶动力响应特性的影响规律，假设在埋深3.8 m处存在一长度为1 m的缩颈段，管桩桩身等壁厚缩颈的内、外径工况变化如表1所列，其中工况Case1为均匀截面桩工况。图5所示为所列内、外径工况下管桩桩顶速度导纳和反射波曲线变化情况。
综合图5和表1可知，相对于均匀截面桩而言，缩颈桩速度导纳曲线呈现大、小峰值交替现象。在所列各工况中，仅外径减小引起的速度导纳曲线大、小峰幅值差最大，而外径减小且内径增大工况次之，仅内径增大引起的大小峰值幅值差则最小。管桩桩顶反射波曲线显著呈现出桩身缩颈界面处的反射信号。具体地，由于桩身截面在缩颈段上界面处减小，从而呈现同相反射信号，在缩颈段下界面处桩身截面增大则呈现反相反射信号。即桩身出现缩颈段时，缩颈段界面反射信号特征为先同相后反相。此外，较均匀截面桩而言，桩身缩颈段的存在，使得桩尖反射波信号幅值水平降低。
图6所示为管桩桩身缩颈段深度位置对桩顶动力响应特性的影响情况。由图可见，管桩桩身缩颈段深度位置对桩顶速度导纳曲线影响显著。具体地，较均匀截面桩而言，管桩桩身缩颈段位置深度越大，其桩顶速度导纳曲线中的大、小峰幅值差越小，其对速度导纳曲线的峰值水平影响亦越小。由反射波曲线可以看出，管桩桩身缩颈段位置深度越小，桩身缩颈段界面处反射波信号出现的时间越早，反射信号幅值水平也越高。
为分析桩身扩颈对桩顶动力响应特性的影响规律，假设在埋深3.8 m处存在一长度为1 m的扩颈段，管桩桩身等壁厚扩颈的内、外径工况变化如表2所列，其中工况Case5为均匀截面桩工况。图7所示为所列内、外径工况下管桩桩顶速度导纳和反射波曲线变化情况。综合图7和表2可知，相对于均匀截面管桩而言，扩颈管桩桩顶速度导纳曲线呈现大、小峰值交替现象。在所列各工况中，仅内径减小引起的速度导纳曲线大、小峰幅值差最大，而仅外径增大工况次之，外径增大且内径减小工况引起的大小峰值幅值差则最小。管桩桩顶反射波曲线显著呈现出桩身扩颈界面处的反射信号。具体地，由于桩身截面在扩颈段上界面处增大，从而呈现出与桩尖处反相的反射信号，在扩颈段下界面处桩身截面减小则呈现出与桩尖处同相的反射信号。即桩身出现扩颈段时，扩径段界面反射信号特征为先反相后同相。 圖8所示为管桩桩身扩颈段深度位置对桩顶动力响应特性的影响情况。由图可见，管桩桩身扩颈段深度位置对桩顶速度导纳曲线影响显著。具体地，较均匀截面桩而言，管桩桩身扩颈段位置深度越大，其桩顶速度导纳曲线中的大、小峰幅值差越小，其对速度导纳曲线的峰值水平影响亦越小。由反射波曲线可以看出，管桩桩身扩颈段位置深度越小，桩身扩颈段界面处反射波信号出现的时间越早，反射信号幅值水平也越高。
4 结 论
本文考虑桩周土体径向施工扰动效应，基于黏性阻尼土体平面应变模型和复刚度传递法，推导得出了任意激振力作用下径向非均质、纵向成层的黏性阻尼土中管桩纵向振动动力阻抗和速度导纳频域解析解答，以及速度时域响应半解析解答，并将本文解与均质土中管桩已有解答进行了退化对比验证，在此基础上，分别探讨了桩身变模量、缩颈和扩径对桩顶纵向动力响应特性的影响规律，计算分析结果表明：
（1）相对于均质桩而言，存在模量突变段管桩的桩顶速度导纳曲线呈现大、小峰交替现象。当变模量系数λ<1时，桩顶速度导纳曲线的大、小峰幅值差随λ减小而增大，共振频率随λ减小而减小，且均小于均质桩共振频率。相对于桩尖处反射信号而言，模量突变界面反射信号特征为先反相后同相。当变模量系数λ>1时，桩顶速度导纳曲线上的大、小峰幅值差和共振频率均随λ增加而增大，且对应共振频率均大于均质桩情况。而模量突变界面反射信号特征则为先同相后反相。
（2）相对于均匀截面桩而言，缩颈管桩桩顶速度导纳曲线呈现大、小峰值交替现象。在所列各工况中，仅外径减小引起的速度导纳曲线的大、小峰幅值差最大，而仅内径增大引起的大小峰值幅值差则最小。管桩桩顶反射波曲线显著呈现出桩身缩颈界面处的反射波信号。相对于桩尖处反射信号而言，缩颈段界面反射信号特征为先同相后反相。此外，较均匀截面桩而言，桩身缩颈段的存在，使得桩尖反射波信号幅值水平降低。
（3）相对于均匀截面管桩而言，扩颈管桩桩顶速度导纳曲线呈现大、小峰值交替现象。在所列各工况中，仅内径减小引起的桩顶速度导纳曲线大、小峰幅值差最大，而外径增大且内径减小工况引起的大小峰值幅值差则最小。管桩桩顶反射波曲线显著呈现出桩身扩颈界面处的反射波信号。相对于桩尖处反射信号而言，扩颈段界面反射信号特征为先反相后同相。
（4）桩身模量突变段、缩颈段和扩径段位置深度越大，其对桩顶速度导纳曲线的峰值影响越小，且对应的大、小峰幅值差亦越小。对于桩顶反射波曲线而言，模量突变段、缩颈段和扩径段位置深度越小，各自对应的桩身缺陷段界面处反射波信号出现时间越早，反射信号幅值水平也越高。
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Abstract： A simplified mechanical model of vertical vibration of the pipe pile embedded in radially inhomogeneous and longitudinally layered viscoelastic soil considering both the variations of cross-section and modulus along the pile shaft is proposed， by employing the viscous damping model and the plane stain model of annular complex stiffness transfer. Firstly， the complex stiffness at the interface between soil and pile is derived based on Laplace transform and complex stiffness transfer method. Secondly， the analytical solutions for dynamic impedance， velocity admittance and reflected wave signal at the pile head are obtained by using the pile-soil compatibility condition of pipe pile and radial inhomogeneous surrounding soil. Furthermore， the obtained analytical solution for dynamic impedance at the pile head is also reduced to verify its validity with existing solution. Finally，an extensive parametric analysis is conducted to investigated the effects of the defective pile segments with variable modulus， necking and expanding， and the corresponding defect locations of pile shaft on the dynamic response at the pile head of the pipe pile embedded in radially inhomogeneous and longitudinal layered viscoelastic soil， which can provide reference and guide for specific engineering practice.
Key words： pipe pile； dynamic response； complex stiffness transfer model； radial heterogeneity； viscous damping
作者簡介：
崔春义（1978—），男，副教授，博士后。E-mail： cuichunyi@dlmu.edu.cn
通讯作者：王科盛（1978—），男，博士，副教授。E-mail： keshengwang@uestc.edu.cn