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[摘 要]行列式是线性代数的一个基本工具。本文主要通过具体实例对行列式的应用做了简单探讨。说明行列式对解决实际问题起着至关重要的作用。
[关键字]行列式，应用，
中图分类号：G642；O151.22-4 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2019）11-0191-02
0引言
无论是在高等数学领域还是现实生活中的实际问题，行列式[1-2]都与它们存在着一定的联系。下面，本文主要介绍行列式在行列式在求解线性方程组、矩阵的秩、逆矩阵、矩阵的特征值以及判别向量组线性相关性等方面的一些应用。使这种数学方法具有非常重要的解决实际问题的作用。以求更进一步加深对行列式这个数学命题的理解将其更好地在运用实践中。
1行列式的应用举要
1.1 求解线性方程组
例1证明齐次线性方程组 只有零解.
证 当 时结论明显成立，假设该结论对小于n的所有情况亦成立.
设齐次线性方程组的解 都不为零， 中两两互异的全体为 且它们的重数分别为 ，显然 .因此方程可写为
将其看作t个未知量 所组成的齐次线性方程组，它前t个方程所构成的方程组的系数行列式值为
由克莱姆法则知，由前t个方程组成的方程组只有零解，即 ，矛盾，所以在 中必有一个为0，不妨设 ，于是所给方程组变为
考虑它前 个方程组成的方程组，由归纳假设法有 ，即所给方程只有零解.
1.2 求解矩阵的秩
行列式对求解复杂矩阵的秩[3]有着重要意义。
例2 证明：如果 是 矩阵 ，那么秩
证明 1）当秩 时， 可逆，故秩 ；2）当秩 时， ，则有秩 秩 ，即秩 ，若秩 ，则 ，于是 ，即 的所有 级子式均为零，与秩 矛盾，故秩 ；3）当秩 时， 的所有 级子式均为零，由伴随矩阵 ，知 ，即秩 .
1.3 求解逆矩阵
定理1[4] 矩阵 可逆的充分且必要条件为 是非退化的，而 ，其中 ， 为 的伴随矩阵.
按上述公式来求逆矩阵，计算量一般是非常大的，该方法多适用于求2阶或3阶矩阵的逆矩阵.
1.4 判别向量组线性相关性
一般地，判别向量组是否线性相关可转化为判别一个齐次线方程组是否有非零解，若方程组有非零解则该向量组线性相关[5]，反之线性无关.
例3向量空间 中 个向量 线性无关，判断 的线性相关性.
证 由 ，得
（1）式的系数行列式为
因此，当m取奇数时，则所给向量线性无关；当m取偶数时，所给向量线性相关.
1.5 求解矩阵的特征值
例4n阶矩阵A的元素全为1，求A的n个特征值.
解 由题意矩阵A为
则
得A的特征值为 ，
1.6 证明微分中值定理
例5设 ， ， ，在 上连续，在 内可导，证明：必存在 使
成立，并利用上述结果说明Lagrange中值定理和Cauchy中值定理均为其特例.
证 可以通过构造行列式辅助型函数来证明此题.
构造辅助函数
由于 ，根据连续的性质和导数运算法则可证明辅助函数 满足罗尔中值定理的条件，故存在 ，使得
即证结论.
若令 ，则由（2）式可得
，即 成立，
此为柯西中值定理.
若令 ， ，则由（2）式可得
，即 成立，
此为拉格朗日中值定理.
1.7求点到平面的距离
例6 在四维空间中求点 到超平面 的距离。
解：设该线性方程组的通解为 ，其中 ， ，因此， .
2 结语
行列式是线性代数的核心，在线性代数理论中占有极其重要地位。不仅如此，它在解决某些数学问题时也带来了方便，比如可以用来求方程组的解、判别矩阵的可逆性、证明中值定理等。综上所述，行列式的应用形式多种多样，变化多端，有的表面上看，其实可以通过转换，变成同一种形式，用类似方法求解即可，有的则相反，形式上看相差不大，事实上完全是不同类，此时需要采用不同的方法求解。因此，需要对症下药，灵活运用。
参考文献
[1] 张禾瑞，郝炳新.高等代数[M].高等教育出版社，1988.
[2] 许甫华，张贤科.高等代数解题方法[M].清华大学出版社，2001.
[3] 杨关玲.行列式的计算方法解析[J].重庆工商大学学报，2015（07）： 68-74.
[4] 北京大學数学系几何与代数教研室代数小组，高等代数[M].高等教育出版社，1987.
[5] 李师正.高等代数解题方法和技巧[M].高等教育出版社，2004：35-38.
作者简介
常凡凡（1993-） 女，陕西省榆林市人，学历：硕士研究生，专业：数学
[关键字]行列式，应用，
中图分类号：G642；O151.22-4 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2019）11-0191-02
0引言
无论是在高等数学领域还是现实生活中的实际问题，行列式[1-2]都与它们存在着一定的联系。下面，本文主要介绍行列式在行列式在求解线性方程组、矩阵的秩、逆矩阵、矩阵的特征值以及判别向量组线性相关性等方面的一些应用。使这种数学方法具有非常重要的解决实际问题的作用。以求更进一步加深对行列式这个数学命题的理解将其更好地在运用实践中。
1行列式的应用举要
1.1 求解线性方程组
例1证明齐次线性方程组 只有零解.
证 当 时结论明显成立，假设该结论对小于n的所有情况亦成立.
设齐次线性方程组的解 都不为零， 中两两互异的全体为 且它们的重数分别为 ，显然 .因此方程可写为
将其看作t个未知量 所组成的齐次线性方程组，它前t个方程所构成的方程组的系数行列式值为
由克莱姆法则知，由前t个方程组成的方程组只有零解，即 ，矛盾，所以在 中必有一个为0，不妨设 ，于是所给方程组变为
考虑它前 个方程组成的方程组，由归纳假设法有 ，即所给方程只有零解.
1.2 求解矩阵的秩
行列式对求解复杂矩阵的秩[3]有着重要意义。
例2 证明：如果 是 矩阵 ，那么秩
证明 1）当秩 时， 可逆，故秩 ；2）当秩 时， ，则有秩 秩 ，即秩 ，若秩 ，则 ，于是 ，即 的所有 级子式均为零，与秩 矛盾，故秩 ；3）当秩 时， 的所有 级子式均为零，由伴随矩阵 ，知 ，即秩 .
1.3 求解逆矩阵
定理1[4] 矩阵 可逆的充分且必要条件为 是非退化的，而 ，其中 ， 为 的伴随矩阵.
按上述公式来求逆矩阵，计算量一般是非常大的，该方法多适用于求2阶或3阶矩阵的逆矩阵.
1.4 判别向量组线性相关性
一般地，判别向量组是否线性相关可转化为判别一个齐次线方程组是否有非零解，若方程组有非零解则该向量组线性相关[5]，反之线性无关.
例3向量空间 中 个向量 线性无关，判断 的线性相关性.
证 由 ，得
（1）式的系数行列式为
因此，当m取奇数时，则所给向量线性无关；当m取偶数时，所给向量线性相关.
1.5 求解矩阵的特征值
例4n阶矩阵A的元素全为1，求A的n个特征值.
解 由题意矩阵A为
则
得A的特征值为 ，
1.6 证明微分中值定理
例5设 ， ， ，在 上连续，在 内可导，证明：必存在 使
成立，并利用上述结果说明Lagrange中值定理和Cauchy中值定理均为其特例.
证 可以通过构造行列式辅助型函数来证明此题.
构造辅助函数
由于 ，根据连续的性质和导数运算法则可证明辅助函数 满足罗尔中值定理的条件，故存在 ，使得
即证结论.
若令 ，则由（2）式可得
，即 成立，
此为柯西中值定理.
若令 ， ，则由（2）式可得
，即 成立，
此为拉格朗日中值定理.
1.7求点到平面的距离
例6 在四维空间中求点 到超平面 的距离。
解：设该线性方程组的通解为 ，其中 ， ，因此， .
2 结语
行列式是线性代数的核心，在线性代数理论中占有极其重要地位。不仅如此，它在解决某些数学问题时也带来了方便，比如可以用来求方程组的解、判别矩阵的可逆性、证明中值定理等。综上所述，行列式的应用形式多种多样，变化多端，有的表面上看，其实可以通过转换，变成同一种形式，用类似方法求解即可，有的则相反，形式上看相差不大，事实上完全是不同类，此时需要采用不同的方法求解。因此，需要对症下药，灵活运用。
参考文献
[1] 张禾瑞，郝炳新.高等代数[M].高等教育出版社，1988.
[2] 许甫华，张贤科.高等代数解题方法[M].清华大学出版社，2001.
[3] 杨关玲.行列式的计算方法解析[J].重庆工商大学学报，2015（07）： 68-74.
[4] 北京大學数学系几何与代数教研室代数小组，高等代数[M].高等教育出版社，1987.
[5] 李师正.高等代数解题方法和技巧[M].高等教育出版社，2004：35-38.
作者简介
常凡凡（1993-） 女，陕西省榆林市人，学历：硕士研究生，专业：数学