【摘 要】
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具有不连续性微分方程的边值问题出现在数学、物理、电子学及地球物理学等领域中,其研究结果对电子器件材料特征识别、地球密度测定等具有应用前景.本论文研究区间内部具有不连续点微分算子的谱特征及其逆问题,给出了其谱特征刻画,唯一性定理及重构算法.第一章 综述有关Sturm-Liouville算子和Dirac算子的研究现状,总结本论文主要工作及其创新点.第二章 研究区间（0,π）上具有不连续性脉冲Sturm
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具有不连续性微分方程的边值问题出现在数学、物理、电子学及地球物理学等领域中,其研究结果对电子器件材料特征识别、地球密度测定等具有应用前景.本论文研究区间内部具有不连续点微分算子的谱特征及其逆问题,给出了其谱特征刻画,唯一性定理及重构算法.第一章 综述有关Sturm-Liouville算子和Dirac算子的研究现状,总结本论文主要工作及其创新点.第二章 研究区间（0,π）上具有不连续性脉冲Sturm-Liouville算子的半逆问题及逆结点问题.在半逆问题中,给出算子的谱特征,运用Hadamard分解定理和Phragmén-Lindel（?）f定理证明了:若势函数在（0,（1+α）/4π）（脉冲参数α∈（0,1））上已知,则一组谱及一端边界条件参数可以唯一确定整个区间上的势函数;若势函数在（（1+α）/4π,π）上已知,则一组谱和另一端边界条件参数可以唯一确定整个区间上的势函数;由已知的谱信息相应地证明了内部反问题,即一组谱和特征函数在（1+α）/4π处的对数导数值可以唯一确定势函数.在逆结点问题中,给出其特征函数结点的渐近估计式,并基于结点数据证明了逆结点问题的唯一性定理.第三章 研究区间（0,π）上具有不连续性Sturm-Liouville算子的谱特征、逆问题的可解性及逆共振问题.给出了其谱特征,特征值交织性及特征函数振荡性的结论,证明了唯一性定理,并给出了逆问题可解性的充分必要条件;关于算子的逆共振问题,利用该问题Cauchy数据{Kx（π,t）,Kt（π,f）}唯一确定了整个区间上的势函数,并结合Cauchy数据与谱之间的关系式得到了一组谱可以唯一确定势函数的结论;再将该问题转化为Regge问题,利用Riesz基性质和Paley-Wiener定理证明了:当不连续点d=π/2或0＜d＜π/2时,一组谱可以唯一确定势函数;给出了其逆共振问题的重构算法.第四章 研究区间（0,π）上具有不连续性周期Sturm-Liouville算子的谱特征、唯一性定理及重构算法.当不连续点个数为一个或两个时,分别给出其谱特征,并证明了两组谱和其对应的符号集可以唯一确定势函数,并得到了相应的重构算法.第五章 研究区间（0,π）上具有不连续性脉冲Dirac算子的半逆问题及唯一性定理.在半逆问题中,证明了:若（π/2,π）上势函数及不连续条件中所有参数已知,则一组谱可以唯一确定整个区间上的势函数,并运用Hadamard分解定理给出重构算法.当不连续问题中势函数为实值函数,且其它参数也为实数时,给出算子的谱特征,并利用给定的辅助数据证明了唯一性定理.当不连续问题中势函数为复值函数及其它参数为复数时,利用Weyl函数和两组谱分别给出了该算子唯一性定理的证明.第六章总结并探讨具有不连续性Sturm-Liouville算子和Dirac算子一些尚待解决的问题.
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