微分方程是描述未知函数的导数、未知函数与自变量之间的关系的方程。按照其导数阶数的定义进行划分，可以将微分方程分为整数阶微分方程和分数阶微分方程。微分方程在物理、生物、化学等多个学科领域有着广泛的应用。　　本文主要研究了两类微分方程，一类是分数阶对流扩散方程，另一类是非线性对流扩散方程。针对分数阶对流扩散方程，本文利用Lie对称方法分别研究了带源项和不带源项的分数阶对流扩散方程，得到了这两个含变量函数的方程的完全群分类。并利用所得到的李点对称分别对它们进行相似约化，得到了各自的群不变解。针对非线性对流扩散方程，本文利用直接方法分别研究了带源项和不带源项的非线性对流扩散方程的守恒律，得到了关于其守恒律乘子的性质与方程的守恒律。　　分数阶微分方程的对称性质的研究是近几年分数阶微分方程研究方向中的热点问题之一。本文通过研究分数阶对流扩散方程的群分类问题，得到了分数阶对流扩散方程在不同的变量函数情况下所拥有的李点对称，这对于揭示分数阶对流扩散方程的物理意义是很有帮助的。此外，本文通过利用直接方法研究非线性对流扩散方程的守恒律乘子，首次得到了该方程守恒律乘子的一个重要性质，这对于简化乘子的确定方程是非常关键的，因而对于守恒律的构造也是很有帮助的。