在可积系统中,完全可积的浅水波方程具有十分重要的研究价值,备受数学界和物理学界学者们的关注.1834年,Russell在研究浅水波时,得到KdV方程,证明了它的完全可积性,具有光滑孤立子解,波形在相互作用中几乎不变.1993年,Camassa和Holm推导出了Camassa-Holm方程,它不同于KdV方程,存在一类尖峰孤立子,是一类新型的完全可积系统,具有双哈密顿结构、Lax对和递归算子.1996年,Fuchssteiner, Olver和Rosenau在用三哈密顿对偶的方法求解mKdV的双哈密顿表示时,得到了一个新的可积系统,修正的Camassa-Holm方程.2009年,Novikov在研究含有平方或立方非线性方程的非局部对称分类时又获得了Novikov方程.无论对修正的Camassa-Holm方程还是Novikov方程,人们都对其进行了大量的研究,在可积性、孤子解、稳定性、适定性和爆破现象等各方面,都获得了巨大的成就.由上可知,完全可积系统的内容是十分复杂的,值得我们对其做进一步深入的研究.本文前几章通过运用格林函数的性质和检验函数法,研究了一类耦合方程的单孤子解和周期尖波解.后来,又从非古典对称方面,对其方程进行了研究.本文结构安排如下：第一章是绪论,主要介绍了Camassa-Holm方程,修正的Camassa-Holm万程和Novikov方程的相关背景知识、发展状况及其应用.第二章介绍了求这个耦合方程孤立波解的方法及思路,并验证了其正确性,进而可将此方法进行推广第三章介绍了求这个耦合方程的周期尖波解的方法及思路,并验证了其正确性,进而可将此方法进行推广第四章介绍了与对称有关的概念和性质,并进一步研究了这个耦合方程的非古典对称问题.最后,总结全文并对后续研究进行了展望.