我们知道,对n阶的非交换单群, 当n ≤ 1000时,n只能是60、168、360、504、660,并且阶不超过1000的非交换单群只有5个：60阶单群A5、168阶单群PSL(2,7)、360阶单群A、504阶单群PSL(2,8)和660阶单,群PSL(2,11).运用Sylow定理不难证明60阶单群同构于A5,见文献[2]和[3].在文献[2]和文献[3]中,Huppert和Smith用不同的初等群论方法证明了168阶单群同构于PSL(2,7),[6]利用文献[2]的方法证明了660阶单群同构于PSL(2,11).在文献[4]中,Isaacs用特征标的理论证明了360阶单群同构于A6,这是有限群论里面的一个有名结论.在现有的群论书籍里,不论是在正文还是在练习中,都没有关于这个结论的完整无误的初等群论证明.例如,在文献[5]第八章的练习8.12中,Rotman希望运用初等群论方法证明360阶单群同构于A6,但是他给出的提示“360阶单群只有6个Sylow5-子群”明显是错误的,因为A6的Sylow5-子群的个数一定是36.我们曾经与施武杰教授、张继平教授、李才恒教授、靳平教授以及其他学者谈到这个现象.找到本文这个证明后,本文后一作者又与王杰教授、于浩然同志进行了深入的交流.王杰教授运用Burnside转移定理,在其讲义里给出了本文结论的纯粹群论证明.于浩然同志继承[4]里关于这个证明的群论断言(也用到了Burnside转移定理),避开[4]里的特征标技术,证明了360阶单群同构于PSL(2,9),由此推出360阶单群必然同构于A6,这个证明涉及到有限域里的相关技巧.这些也都是有意义的工作.最近,于浩然同志经过艰辛的搜索考证,找到了RN.Cole的文章[7].Cole运用置换群的技术证明了本文结论,相比较而言,本文的证明比[7]更初等些,本文仅用Sylow定理和最基本的置换计算证明了结论.除了Sylow定理和最基本的群论知识外,本文是完全自包含的,作者希望这个证明对群论学者具有借鉴和启发作用.