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二次型理论及应用在数学和其他学科有很多应用,这一理论推广到无穷维的情形就是数值域理论.设H为赋予内积<·,·>的复Hilbert空间,记L(H)为有界线性算子全体,T ∈ L(H),则算子T的数值域定义为如下集合:W(T)={<Tx,x>|x∈H,||x|| = 1}.当H= Cn且A∈Mn(C)时,W(A)={x*Ax|x∈Cn,||x||= 1 },则得到关于W(A)相关的性质:其中 W(aa+bA)=a+bW(A),b ∈ C.W(A*)={λ|λ∈W(A)}W(U*AU)=W(A),其中U为酉算子.众所周知,二维空间上算子的数值域是以特征值为焦点的椭圆,即椭圆引理.根据橢圆引理可知,任何算子的数值域是凸集,即Toeplitz-Hausdorff定理.并且算子的谱总是包含在W(A).算子的数值半径定义如下:w(A)= sup{|λ||λ∈W(A)}.本文第一章回顾了数值域的研究历史和现状;第二章介绍了算子理论、特殊算子及数值域的定义及相关性质;第三章第一节主要介绍了 2阶矩阵的数值域,经典定理-椭圆引理及其证明,对数值域的计算及几何特性有了初步认识.本章第二节主要介绍了 3阶幂零矩阵的数值域是圆盘的充要条件及上三角矩阵数值域的相关研究成果.另外本章第三节讨论了 4阶幂零矩阵的数值域问题.通过对有限维空间幂零矩阵的数值域研究,得到了数值域是圆盘的充要条件;第四章介绍了经典算子-自伴算子及正规算子的数值域相关结论,并研究了移位算子的数值域及数值半径,从而,得到幂零算子数值半径的界.另外,介绍了块移位算子数值域的的上界和下界.对于实数域的三阶幂零矩阵数值域是圆盘的充要条件Marvin Marcus和Claire Pesce早在1986年就已经给出,本文介绍了更一般的结论对于复数域上的三阶及四阶幂零矩阵数值域是圆盘的充要条件及数值半径的计算:定理3.2.2设A=(aij)为任意3阶复幂零上三角矩阵,则下列结论等价:定理3.3.1设A=(aij)为任意4阶复幂零上三角矩阵,则下列结论等价:第四章总结了幂零算子及块移位算子数值半径的不等式:定理 4.3.2 设T∈L(H),Tn=0,n≥2,则有令Vξ=Span{ξ,Tξ,T2ξ,…,Tn-1ξ}则Vξ是H的n维子空间,且Vξ是H约化子空间,T|Vξ酉等价于Cn上的移位算子.定理4.4.1设(?)是Cn=Cn1⊕Cn2⊕…⊕Cnk上的块移位矩设Tj≠0,则当且仅当T酉相似于Bj0⊕C,其中1≤j0≤m,使得w(Aj0)=maxw(Aj0)=w(T),其中C为块移位矩阵,且w(C)≤w(Bj0).(3)设Tj≠0,则w(T)=w(T)当且仅当T酉相似于T⊕C,其中C为块移位矩阵,且w(c)≤w(T).