基于知识的定理机器证明、数学软件系统集成、数学语义Web、高级数学教学系统等对数学知识的表示和获取产生了巨大的需求。面向Web的数学内容标注语言,如MathML、OpenMath、OMDoc等受到极大关注。同时,出现了数学领域知识获取的多个工程,如MBase、HELM、MOWGLI等。随着中国科学院计算技术研究所国家知识基础设施(NKI)的建设,我们于2001年开始启动了数学领域知识的表示与获取工作。已经在数论、集合论、代数、图论、分析学等几个分支上进行了数学知识的表示和获取工作,获得了数千个数学概念和数学命题。本文主要围绕数学概念的知识表示、获取、正确性验证、组织与管理等方面的内容,开展了如下几个方面的研究工作:(1)面向多用途的数学概念知识分层表示方法。首先给出了面向多用途的数学知识系统体系结构,分析了数学知识获取可能潜在的用途,给出了满足多服务需求的综合数学知识表示体系。知识表示采取分层的组织方式,主要分为三层:①谓词逻辑层;②知识描述层;③知识关系层。给出了基于本体、框架和逻辑的数学知识表示语言以及数学概念形式定义的表示语言。在概念的知识表示体系中,充分考虑了知识之间的继承关系、知识的多粒度表达、知识的可共享性和可重用性、不同知识表示方法之间的相互协调与转换等因素。(2)满足完整性约束的数学概念知识获取方法。定义了概念与概念之间的关联关系,建立了概念的关联空间,证明了关联空间是一个偏序空间,对概念的关联度进行了量化分析,给出了用于数学概念关联刻画的四元指标(相对抽象度、关联度、出度、描述复杂度)。在概念关联空间的指引下,给出了概念驱动的数学知识获取方法,该方法不但可以获取给定知识而且可以获得与给定知识相关联的知识,从而满足知识的相对完整性约束。(3)数学概念的继承层次结构及其生成算法。首先给出了概念类划分标准以及概念类之间的继承关系。在同一个概念类内部,定义了数学概念等同、概念蕴含、概念重叠、概念互斥等关系。从概念的构成出发,定义了常见的概念构造子,分析了不同的概念构造子得到的概念与原先概念之间满足的关系。最后,给出了概念的知识继承关系及其层次结构,并得到了概念知识继承结构的自动生成算法。(4)数学概念知识表示的异常分析及其检查方法。首先综述了已有的知识分析和验证方法与工具,给出了数学概念知识库检查的基本流程。然后详细分析了概念知识表示中可能出现的语法错误并给出了检查方法。重点分析了数学概