【摘 要】
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拟牛顿法是求解中小型无约束优化问题颇受欢迎的一类方法,该方法具有计算量较小,收敛速度快等优点.在众多的拟Newton法中,BFGS算法由于具有很好的数值效果,是最受欢迎的一种
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拟牛顿法是求解中小型无约束优化问题颇受欢迎的一类方法,该方法具有计算量较小,收敛速度快等优点.在众多的拟Newton法中,BFGS算法由于具有很好的数值效果,是最受欢迎的一种算法.但该算法用于求解非凸函数极小值问题时不具有全局收敛性.MBFGS算法可用于求解非凸函数极小值问题.然而求解大规模问题时,MBFGS算法产生的迭代矩阵Bk通常是稠密的,Bk的条件数可能较大,因而求解子问题较难.针对MBFGS算法这种缺陷,本文提出一种谱尺度MBFGS算法.其基本思想是对传统的拟Newton方程进行修正,使得拟Newton矩阵不再是目标函数的Hessian矩阵的近似,而是它的经过预处理后的形式的近似.这种方式的目的在于降低迭代矩阵的条件数,从而降低求解子问题的难度.该算法产生的迭代矩阵具有很好的性质,迭代矩阵具有对称正定性,该性质与函数的凸性和线性搜索无关；具有自修正迹的性质,可以有效的纠正过大的特征值.从而使得迭代矩阵的条件数变小.
在较弱的条件下,我们证明,即使用于求解非凸函数极小值问题,采用Wolfe-Powell或Armijo线性搜索的谱尺度MBFGS算法也具有全局收敛性和R-线性收敛性.此外,我们还引入Grippo的非单调线性搜索,研究相应的非单调谱尺度MBFGS算法,并进行数值试验.结果表明,本文算法对求解规模较大的问题时,也具有较好的数值结果.
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