论文部分内容阅读
本篇论文主要是对近期出现的一维浅水波方程-Camass-Holm方程做了一些定性研究。这个方程是通过直接逼近描述浅水波机制的欧拉方程的哈密尔顿而得到的。
首先，在非周期的情况下，本文回顾了Y.Li和P Olver在中所证明的如下性质：当初始条件属于H(R)，s>3/2时，Camassa-Holm方程的柯西问题的解具有局部适定性。本文对其证明过程进行了必要补充，并给出了更为清晰的证明：正则化原方程，然后证明该正则化方程的解是H(R)空间中的柯西列，最后对该正则化方程取极限即可得结论。至于周期性情况下方程解的局部适定性证明也类似，可以参考相关文献。
其次，我们通过傅立叶级数证明了一个新的不等式。在周期性条件下，利用这个不等式得出了新的初始条件，使得Camassa-Holm方程的柯西问题的解在有限时间内爆破。本文还将该不等式应用于rod方程得出了相应rod方程柯西问题的解的爆破条件。
本文的最后部分提及了Camassa-Holm方程的解具有无限传播的性质以及由此提出的解的爆破条件，并通过例子解释了该爆破条件的优越性。除此之外，我们还介绍了方程弱解的一些研究成果。