该文主要讨论无约束优化信赖域方法和CDT子问题.信赖域方法是求解非线性优化问题最常用和有效的方法之一.在信赖域方法的计算过程中,信赖域半径的选择是影响算法有效性的一个重要因素.在传统的信赖域方法中,每次迭代,我们根据目标函数的实际下降量和预估下降量的比值按比例扩大或缩小信赖域半径.该文提出一个自动确定信赖域半径的新策略,这个新算法利用二次信息,没有额外增加计算量.在适当条件下,新算法仍然具有超线性收敛性.数值结果表明算法是有效的.作为一个重要的应用,CDT子问题是用一类信赖域方法求解等式约束优化问题时,每次迭代都要计算的一个子问题;因此有效求解CDT子问题在一定意义下已成为能否将该类信赖域方法成功应用于约束优化问题的关系.袁亚湘给出了CDT子问题的最优性条件,说明CDT子问题在其全局最优解处,Lagrange函数的海色阵H可能有一个负特征值.到目前为止,关于CDT子问题,在假定B是一个正定矩阵的前提下,已有算法可以有效求解CDT子问题.然而当B不定甚至全局解处Lagrange函数的海色阵H有一个负特征值的情形,陈雄达进行了深入的分析,但至今仍未有很有效的求解方法,这是该文的研究的目的.假设CDT子问题全局解处,H有一个负特征值,我们给出了CDT子问题的最优解的充分必要条件,说明最优解是对应对偶函数的一个鞍点.进一步地,在此假设下,我们也研究了对偶函数在满足H有一个负特征值的集合上的性质,得出对偶函数在H半正定的集合上的最大值和CDT子问题全局解处对应的对偶函数值之间的大小关系,证明了H有一个负特征值的集合上可行的KKT点是子问题的局部最优解,并给出了该集合上局部解和全局解的关系,这些结果为我们的算法设计提出了理论上的指导.最后我们给出了一个算法,该算法考虑了一般的对称矩阵B;如果在全局解处,H半正定,则我们的算法可以准确地找到这个解;反之,算法将终止在CDT子问题的某个局部最优解.我们建立了相应的收敛性定理,并通过数值例子说明了算法的有效性.