在第一章中，为后继工作做准备，我们简要回顾Hamiltonian系统的一些基本概念与经典理论。自第二章起，我们考虑如下的Hamiltonian系统:{（x）=J(Ax+▽f(x，θ))(θ)=ω其中x∈R2，θ∈Td.为了讨论问题的需要，我们假设下列条件成立:　　1.A是实对称矩阵;　　2.函数f关于变量x，θ实值解析，并且在x=0附近有f(x，θ)=O3（|x|）;　　3.ω是一个Diophantine向量，即存在正的常数γ＞0和(τ)＞d+1，使得|〈k，ω〉|≥γ/|k|τ，当0≠k∈Zd.　　其中〈k，ω〉=∑ikiωi，|k|=∑i|ki|.　　在本文中，我们将仅考虑椭圆情形。令ρ=√det A.做变量替换z=1/√2(x1+ix2)并引入新的作用量I，我们得到了一个新的系统:{(z)=iρ(z+(e)/(e)f(z，(z)，θ））(θ)=ω(0.0.1)(I)=-(e)/(e)θf(z,(z),θ)其辛结构为dIΛdθ+idzΛd(z),相应的Hamiltonian函数为H=<ω，I>+ρz(z)+f(z,(z)，θ)，(0.0.2)其中f(z，(z)，θ)=O3(|z|).我们将从系统(0.0.1)出发，考虑其不动点z=0的Lyapunov稳定性。　　在第二章中我们假设f的第一个非零共振项关于z，(z)是n次的。则我们可以找到一个辛变换F.借助这一变换，Hamiltonian函数(0.0.2)可以化归到n阶规范型:　　H(o)F=Hn=<ω，I>+Nn+Pn.作坐标变换z=√ueiβ，我们有(N)n=un/2g(β)，Pn=O（un+1/2）.与周期情形类似，我们讨论以下两种情形:　　1.g存在非临界的零点。我们证明在此情形下不动点z=0是不稳定的。　　2.g恒不等于零。这时n=2l.我们可以构造一个适当的辛变换，其　　将Hamiltonian函数H(o)F化为以下形式:(H)=(H)(p，q，t）=apl+O(pl+1/2)，　　其中a≠0.接下来，利用上述系统的不变环面的存在性我们可以证明不动点z=0是稳定的。　　受Rüssmann的工作的启发，在第三章中我们将考虑不存在共振项的情形。在此情形下，我们证明不动点z=0是稳定的。