双曲守恒律方程的广义流通量间断有限元方法

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本论文主要研究求解双曲守恒律方程的间断有限元方法的稳定性分析和误差估计理论。稳定性分析可以保证数值解范数可以被初值控制,进而保证了数值解不会随时间的推移而出现大幅度偏移;而误差分析则为方法的高阶精度提供了强有力的理论基础。间断有限元方法的核心思想是利用完全间断的分片多项式空间逼近方程的解空间以及检验函数空间,由于其间断的灵活特性,该方法在科学研究与生产生活中有着重要的应用。主要研究内容总结如下:首先,针对一维非线性双曲守恒律方程提出了使用变参数GLLF流通量的间断有限元方法,借此写出方程的半离散数值格式。而后,利用单调数值流通量的间断有限元方法都具有稳定性这一理论,证明了本文所采用的流通量的单调性,进而得到了稳定性的结论,从而为下一步的有效分析奠定了基础。其次,本文针对非线性守恒律方程的间断有限元方法进行了收敛性分析。在进行收敛性分析时,对于非线性项采取以Taylor展开为主要思想的线性化技巧进行处理,同时本文还建立了全局Gauss-Randu投影来消除数值流通量带来的对分析有不利影响的量,最终得到了最优的k+1阶的误差估计结果,这为间断有限元方法的高精度特点提供了坚实的理论依据。最后,本文对无黏的Burgers方程进行了数值实验,通过使用第二章和第三章的空间离散方法以及3阶TVD Runge-Kutta的时间离散方法得到方程的全离散格式,对此格式上机实验。实验结果表明,间断有限元方法在选取广义数值流通量来求解双曲守恒律方程时,确实可以达到最优的k+1阶收敛,这为文章的理论结果提供了强有力的事实依据。总之,间断有限元方法在求解偏微分方程问题时优势较为明显,主要体现在其在误差分析时具有较高阶的精度以及较高的分辨率等特点。本文给出了求解周期边界条件的一维标量双曲守恒律方程的间断有限元方法的稳定性和收敛性结论,对该方法求解非线性方程的理论进行了补充,并进一步表明了该方法在解决实际问题的优越性。
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