【摘 要】
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在黎曼几何中,曲率与拓扑之间的关系是热点研究课题之一.本文主要研究在特定曲率以及一定体积增长条件下黎曼流形的拓扑问题.具体研究内容如下:第一,研究具有渐近非负Ricci曲率的完备非紧黎曼流形M.假设流形M满足一定大体积增长以及k _p(r)≥-C/(1+r)α(α∈[0,2],C>0),一方面,利用推广的Excess函数和Busemann函数,证明流形M在第k个渐近非负Ricci曲率条件下具
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在黎曼几何中,曲率与拓扑之间的关系是热点研究课题之一.本文主要研究在特定曲率以及一定体积增长条件下黎曼流形的拓扑问题.具体研究内容如下:第一,研究具有渐近非负Ricci曲率的完备非紧黎曼流形M.假设流形M满足一定大体积增长以及k p（r）≥-C/（1+r）α（α∈[0,2],C>0）,一方面,利用推广的Excess函数和Busemann函数,证明流形M在第k个渐近非负Ricci曲率条件下具有有限拓扑型;另一方面,结合截曲率的Toponogov型比较定理以及临界点理论,得到流形M具有有限拓扑型.该结果将截曲率的条件弱化为kp（r）≥-C/（1+r）α,从而补充了Mahaman、Zhang关于这类流形的研究结果.第二,研究具有非负Ricci曲率的完备非紧黎曼流形M.假设流形M满足次大体积增长,k p（r）≥-C/（1+r）α（α∈[0,2],C>0）,函数f（r）=vol[B（p,r）]/I n（r）rn-1是单调递减以及临界半径有正下界,利用截曲率的Toponogov型比较定理和Excess函数上界估计,再结合临界点理论,得到流形M微分同胚于Rn的结论.该结果将体积增长的速度改进到r[（1-α/2）?k?（n-2）]/（k+1）,从而丰富了Zhan和Xue关于这类流形的研究结果.第三,研究Ricci曲率有负下界的完备非紧黎曼流形M.假设流形M满足小的线性直径增长,利用Excess函数估计得到Ricci曲率有负下界的一致割引理,再结合射线密度函数以及半路引理,证明流形M的基本群是有限生成的,从而将Sormani的结果推广至Ricci曲率有负下界的情形.
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