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Moore-Penrose逆和Drazin逆是两类非常重要的广义逆,在许多领域都有着重要的应用.很多学者围绕复矩阵、Banach空间以及Hilbert空间中的有界线性算子上的广义逆展开研究,已经取得了丰富的成果.2012年,M.P.Drazin在结合环和半群中引入了(b,c)-逆,统一了Moore-Penrose逆和Drazin逆以及其他经典广义逆,为广义逆的研究提供了一个公共的新平台.也正因为如此,(b,c)-逆的研究难度更大.目前关于(b,c)-逆的相关研究成果并不丰富,仍有很多问题等待进一步探讨.本文主要围绕环上Moore-Penrose逆、Drazin逆以及(b,c)-逆,从线性组合的可逆性,分块矩阵Moore-Penrose逆存在性、广义逆的反序律以及(b,c)-逆的存在性及(b,c)-谱幂等元等几个方面展开研究.主要分为四个部分: 第一部分首先对环R中两个元素a和b,当a*≤b且a是Moore-Penrose可逆时,给出了b是Moore-Penrose可逆的充要条件,推广了C.Y.Deng等人关于有界线性算子的相关结论.其次在偏序的条件下,讨论了两个Moore-Penrose可逆元的线性组合Moore-Penrose可逆性以及反序律问题,推广了M.To(s)i(c)关于EP元和广义投影元的线性组合可逆性的相关结果.给出了乘积矩阵存在Moore-Penrose逆新的判别准则,作为应用给出了环上分块矩阵M=(abcd)(其中a是可逆的)以及M=(ab0d)有Moore-Penrose逆的充分必要条件,将R.E.Hartwig和P.Patrício的工作推广到更一般的环上. 第二部分利用广义Schur补的极秩,讨论了形如(AB)I=BI(AI ABBI)I AI的混合型反序律问题,其中A,B是复矩阵,I={1,3},{1,2,3},{1,3,4}.利用矩阵的秩给出了{1,3}-逆、{1,2,3}-逆和{1,3,4}-逆的混合型反序律成立的充要条件,补充了混合型反序律的研究结果. 第三部分利用环论的方法与技巧,讨论了两个Drazin可逆元素和与积的Drazin可逆性.首先给出了对于域上代数中两个元素a和b满足ab=λba时,a+b的Drazin可逆性.同时,利用角环中元素的Drazin可逆性,简化了P.Patrício和J.L.Chen等人有关环上幂等元的和与积的Drazin可逆性结论的证明. 第四部分主要研究了(b,c)-逆的存在性及有相同(b,c)-谱幂等元的刻画.首先从一类特殊(b,c)-逆(Bott-Duffin(e,f)-逆)展开研究.利用可逆元素,给出了在e和f是投影元时,Bott-Duffin(e,f)-逆的存在性及表达式.其次利用零化子、直和分解和可逆元给出了(b,c)-逆存在性的新刻画.同时我们发现,如果元素a是(b,e)-可逆的,则b和c一定都是正则元这个性质.进而在b和c都是正则元的条件下,证明了(b,c)-逆、混合(b,c)-逆以及零化子(b,c)-逆是一致的.最后,研究了有相同(b,c)-谱幂等元的刻画问题,并探讨了(b,c)-逆的反序律成立的充要条件,推广了M.Dijana等人给出的有关image-kernel(p,q)-逆的结论.