最优化(Optimization)，就是在复杂环境中遇到的许多可能的决策中，挑选“最好”决策的科学。在本世纪30年代末，由于军事和工业生产发展的需要，提出了一些不能用古典微分法和变分法解决的问题。在许多学者和专家的共同努力下，逐渐产生、发展和形成了一些新的方法，即最优化方法。它是一门应用十分广泛的学科，随着计算机的日趋发展，以及工程设计，系统识别，管理科学等方面的不断深入，最优化的应用越来越广泛。本文将探讨用Lanczos路径方法解非线性最优化问题。 Lanczos方法，是用来求解对称方程组Ax=b的解，将对称矩阵A进行三对角化然后再利用回代技术求出方程的解。它也可以用来解特定的大规模稀疏对称特征值问题Ax=λx。该方法涉及到给定的矩阵A进行局部三对角化。重要的是，在算法过程中不会有满的子矩阵产生，同样重要的是，A的两端的特征值的信息在三对角化完成之前早得多就已经出现。 共轭梯度法是最优化中常用的方法之一，由于具有算法简便，只需要一阶信息，易于编程，以及需要存储空间小等优点，共轭梯度法已经成为求解大规模问题的一种主要方法。Bulteau和Vial在[7]中构造了无约束最优化问题的共轭梯度路径，其基本思想是将标准共轭方向法应用于无约束优化目标函数．厂的局部二次近似函数，得到一组共轭方向序列。共轭梯度路径定义为该共轭方向序列的线性组合，获得了共轭梯度路径的一些重要性质。可以证明当共轭梯度路径中的参数趋向于无穷时，产生的搜索方向即为牛顿步或者拟牛顿步，以导致算法局部超线性收敛的一个重要依据。 Lanczos方法和共轭梯度路径法的思想启迪我们，如果将二者相结合，构造一条新的路径，使得这条路径既具有Lanczos向量的性质，又具有共轭向量的性质。最优化问题的近似二次模型应用Lanczos方法过程中同时应用共轭梯度法，即对问题三对角化的同时也计算出了共轭方向序列，这样可以得到Lanczos方向序列和共轭方向序列，由此生成一条新的路径，称为Lanczos路径。此路径有类似于共轭梯度路径的一些重要性质，在合理的假设下，证明了此算法具有整体收敛性和局部超线性收敛速率。数值实验，表明Lanczos路径法对于解大型稀疏优化问题有更显著的收敛速率。 本文共分为四章。第一章简单地介绍了无约束优化，约束优化的一些基本概念；Lanczos法，共轭梯度法及信赖域方法等内容。第二章用Lanczos路径法求解线性等式约束最优化问题，通过构造原问题的零空间，将Lanczos法和共轭梯度法相结合应用于零空间中的近似二次模型，构造了Lanczos路径，利用线性搜索技术得到接受步长，证明了算法既具有整体收敛性又保持了局部超线性收敛速率。在本章最后给出了部分题目的数值结果。第三章中给出了有界变量约束优化问题的非单调预处理Lanczos路径算法，先构造预处理Lanczos路径，沿这条路径获得搜索迭代方向，利用非单调回代技术得到可接受的步长因子，从而获得新的有足够下降的迭代点。非单调能克服高度非线性化函数的最优化问题。在本章最后给出了数值结果，表明所提供的算法有效性。最后一章，对本文的工作进行总结，并提出进一步的研究方向。