本文关注素数判定，数域上的order和丢番图方程三个方面的问题。　　数论不仅在理论上很重要，还在很多领域有广泛应用。近年来，素数判定在公钥密码系统中非常有用。对于确定性的算法，APRCL测试沿用至今，不过它不是多项式时间的。AKS作为多项式时间算法，在理论上取得了突破，然而却很难在实际中使用。因此，寻找对特殊形式数的高效素性测试很有意义。著名的卢卡斯-莱默测试使人们注意到形如Apn±1(p为素数）的数的素性测试。P.Berrizbeitia和合作者继续这一研究路线，提出p=2，3，5等的素性测试。我们利用p次互反律提出了一种算法来确定整数M=Apn+wn的素性，其中wpn-1≡1(mod pn)，A＜pn.并给出当p=7时的例子。如果p被视为常数，该算法仅需O((log M)2(log log M)3)的位操作。我们的结果以及P.Berrizbeitia等人的结果一起解决了F.Lemmermeyer在2000年提出的一个公开问题。　　丢番图方程是数论研究的经典对象之一。一个古老而熟知的例子是p=x2+y2有整解当且仅当p≡1(mod4).David A.Cox提出过一个定理，它是一个漂亮的关于番图方程p=x2+ ny2有解的判别条件。而我们继续推广，考虑形如ax2+by2=α的一类丢番图方程。为此，首先我们集中研究任意数域中的order，考虑Picard群与理想类群的关系，得到了与order对应的环类域，建立了order与其对应环类域的联系。这里环类域的伽罗华群同构于order的Picard群。这是类域论经典结论中类群对应希尔伯特类域的推广。作为应用，我们给出了一类虚二次域上的丢番图方程p=x2+ny2的可解判别，这里p是一个素元。这推广了Cox对同问题在有理数域上的研究方法。　　最后，我们丢掉p是素元的限制，用算术代数几何的观点，把魏达盛和徐飞的结果应用到这类丢番图方程。具体地讲，给定一个数域F及其整数环(0)F，对于(0)F中的某些a，b和α，我们证明了Artin条件是方程ax2+by2=α整解的局部-整体原则的唯一阻碍。并给出了一些具体的例子来描述方程的可解判别。