【摘 要】
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(α,β)-度量是一类可计算的重要Finsler度量,在物理学和生物学等领域有着广泛应用.本文研究了光滑流形M上一类特殊的(α,β)-度量,即对数度量F=α(1+ln(1+β2/α2))的几何性
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(α,β)-度量是一类可计算的重要Finsler度量,在物理学和生物学等领域有着广泛应用.本文研究了光滑流形M上一类特殊的(α,β)-度量,即对数度量F=α(1+ln(1+β2/α2))的几何性质(这里α(x,y)=√αij(x)yiyj为M上的黎曼度量,β(x,y)=bi(x)yi为M上的1-形式),重点讨论了对数度量局部对偶平坦,射影平坦的充要条件以及对数度量具有迷向S-曲率的充要条件.主要得到如下结论:定理3.2设F=α(1+ln(1+β2/α2))为光滑流形M上的Finsler度量,则F局部对偶平坦当且仅当(1)r00=2/3θβ-2/3blθlα2,(2)sl0=βθι-θbl/3,(3)Gmα=1/3θmα2+2/3θy2m.
定理4.1设M是n维(n≥3)光滑流形,对于M上的对数度量F=α(1+ln(1+β2/α2)),则下列等价:
(1)F具有迷向S-曲率.
(2)β为关于α长度恒定的killing1-形式.
(3)S=0.
(4)F为Berwald度量.
(5)β关于α平行.
(6)F与α有相同的测地系数.即Gi=Giα.
(7)F与α射影相关.
定理5.1设F=α(1+ln(1+β2/α2))为光滑流形M上的Finsler度量,则F局部射影平坦当且仅当(1)β关于α平行,(2)α局部射影平坦.
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f(0)=0, f′(s)≥-μ0,(0.2)
α2|s|p-k2|s
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