研究一类带有边值问题的偏微分方程广义解的多重性,是微分方程理论研究领域的核心,也是这一领域研究内容的重点课题之一。 利用拓扑度理论和变分方法、临界点原理等工具研究偏微分方程边值问题的可解性和解的多重性具有深刻的物理和力学等背景,解决这类问题不仅需要古典的空间拓扑和几何等方面的性质,同时这类问题的解决又带动了非线性分析中许多新工具的产生和发展,而且也展示了一个多学科相互交融的研究领域。经过大量数学家的努力,这一领域的理论已构成偏微分方程的一类典型的处理方法。本文主要利用这些方法,在前人的基础上研究了两类偏微分方程边值问题的可解性和解的多重性。 本文安排如下: 1.在第一章中主要介绍与本论文相关的一些重要的定义和符号,以及前人利用拓扑度理论、变分方法、临界点原理等工具研究波动方程、桥梁模型方程所取得的成果。 2.在第二章中主要考察一类非线性且带有周期条件的波动方程 u_tt-u_xx+bu⁺-au^-=h（x,t） （x,t）∈（-π/2,π/2）×R。首先,利用变分方法把这个无限维的问题转化为有限维的问题Φ（v）=u_tt-u_xx+P（b（v+θ（v））⁺-a（v+θ（v））^-）。接下来,通过考察Φ的一些性质,揭示了当h（x,t）由特征函数φ01,φ02生成时,方程的解与外部项h（x,t）之间的联系。 3.在第三章中主要考察一类桥梁模型方程 u_tt+u_xxxx+bu⁺-au^-=1+εh（x,t） （x,t）∈（-π/2,π/2）×R。首先,利用变分方法把这个无限维的问题转化成求泛函 （?）（v）=∫_Q[1/2(-|u_t|²+|u_xx|²)+b/2|u⁺|²+a/2|u^-|²-u-εh（x,t）u]dtdx临界点的问题,其中u=v+θ（v）。接下来,考察（?）（v）的一些性质,通过临界点定理,可以证明（?）（v）至少有三个临界点,从而得出方程至少存在三个解。