最优(n,{3,5},Λα1,Q)光正交码的界与构造

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Salehi于1989年引入光正交码(OOC: Optical Orthogonal Code)构建OCDMA通信系统.在这个系统中,每个用户被分配一个光正交码作为地址码.为了满足用户对多种服务质量(QoS)的需求,1996年Yang引入变重量光正交码(Variable-Weight Optical OrthogonalCode).与常重量光正交码相比,变重量光正交码不仅能够满足用户的多种服务要求,而且具有较大的码字个数.  设W={w1,w2,…,wr}为正整数集合,Λa=(λa(1),λa(2),…,λa(r))为正整数序列,Q=(q1,q2,…,qr)为正有理数序列,其中r∑i=1qi=1.不失一般性,我们假设w1<w2<…<wr.  (n,W,Λa,λc,Q)-OOC C是Zn中子集组成的集合,子集基数(即码字重量)集合为W.C满足以下性质:  (1)码字重量分布 C∩(Zm wi)=qi|C|,1≤i≤ r;  (2)周期自相关性对任意C∈C∩(Zn wi),t∈Zn{0},|C∩(C+t)|≤λa(i),1≤i≤r;  (3)周期互相关性对任意C,C∈C,C≠C,t∈Zn,|C∩(C+t)|≤λc,  若λa(1)=λa(2)=…=λa(r)=λa,我们将(n,W,Λa,λc,Q)-OOC记为(n,W,λa,λc,Q)-OOC;若λa=λc=λ,则记为(n,W,λ,Q)-OOC.若Q=(a1/b,a2/b,…,ar/b)且gcd(a1,a2,…,ar)=1,则称Q是标准的.显然,b=r∑i=1ai.若Q=(1/r,1/r,…,1/r),则称为平衡的(n,W,Λa,λc)-OOC.  Yang于1996年给出(n,W,Λa,λc,Q)-OOC码字个数的上界,但这个界不紧,后来Bu-ratti等人改进了Yang的结果.令Φ(n,W,Λa,λc,Q)=max{|C|:C是(n,W,Λa,λc,Q)-OOC}.  设Q=(a1/b,…,ar/b)是标准的,则Φ(n,W,1,Q)≤([) n-1/ r∑i=1aiwi(wi-1)」.  给定n,W和Q,若C的码字个数达到最大值,则称(n,W,Λa,λc,Q)-OOC是最优的.关于(n,W,Λa,.对于自相关数大于1的变重量光正交码已有部分结果,其中λc,Q)-OOC的研究主要集中在自相关数与互相关数均为1主要对重量为{3,4}做了一些研究.就作者所知,对于重量为{3,5}且自相关数大于1的最优变重量光正交码目前并没有研究成果,本文主要对此类变重量光正交码进行研究.  设Q=(a1/b,a2/b)是标准的,令Δ12=6a1+12a2,Δ22=4a1+12a2,Δ21=4a1+20a2,本文讨论(n,{3,5},Λa,1,Q)-OOC码字个数的上界,得到以下结果:  定理1.1设Q=(a1/b,a2/b)是标准的,则Φ(n,{3,5},(2,1),1,Q)≤{ b([)n/Δ21」,gcd(n,4)=4;b([)n-1/Δ21」,gcd(n,4)=1,2.  定理1.2设Q=(a1/b,a2/b)是标准的,则Φ(n,{3,5},(1,2),1,Q)≤{ b([)n-1/Δ12」,gcd(n,924)=1,2,3,6,7,21;b([)n/Δ12」, gcd(n,924)=4,14,28,42;b([)n+1/Δ12」,gcd(n,924)=11,12,22,33,66,77,231;b([)n+2/Δ12」,gcd(n,924)=44,84,154,308,462;b([)n+3/Δ12」,gcd(n,924)=132;b([)n+4/Δ12」, gcd(n,924)=924.  定理1.3设Q=(a1/b,a2/b)是标准的,则Φ(n,{3,5},(2,2),1,Q)≤{ b([)n-1/Δ22」,gcd(n,924)=1,2,3,6,7,21;b([)n/Δ22」,gcd(n,924)=4,14,28,42;b([)n+1/Δ22」, gcd(n,924)=11,12,22,33,66,77,231;b([)n+2/Δ22」,gcd(n,924)=44,84,154,308,462;b([)n+3/Δ22」,gcd(n,924)=132;b([)n+4/Δ22」,gcd(n,924)=924.关于最优光正交码的存在性,本文得到以下结果:  定理1.4对于任意大于7的素数p,存在最优的平衡12-正则(12p,{3,5},(2,1),1)-OOC.对于p∈{3,5,7},存在最优的平衡(12p,{3,5},(2,1),1)-OOC.  定理1.5若p≡5(mod8)为素数,则存在最优的平衡(6p,{3,5},(2,1),1)-OOC.当p≥13,此光正交码也是6-正则的.  定理1.6若p≡3(mod4)≥7为素数,则存在最优的22-正则(22p,{3,5},(2,1),(1]3,2/3))-OOC.  定理1.7若p≡5(mod8)为素数,则存在最优的平衡(9p,{3,5},(1,2),1)-OOC.当p≥29,此光正交码也是9-正则.  定理1.8若在Zv上存在斜Starter,那么存在18-正则的平衡(18v,{3,5},(1,2),1)-OOC.  定理1.9若在Zv上存在斜Starter,那么存在最优的12-正则(12v,{3,5},(1,2),1,(2/3,1/3))-OOC.  定理1.10若p=3(mod4)≥7为素数,则存在最优的平衡8-正则(8p,{3,5},(2,2),1)-OOC.  定理1.11若p≡5(mod8)为素数,则存在最优的平衡(8p,{3,5},(2,2),1)-OOC.当p≥13,此光正交码也是8-正则.  定理1.12如果n≡24,120(mod144),那么存在最优的平衡24-正则(n,{3,5},(2,1),1)-OOC.  定理1.13如果n≡14,70(mod84)>14,那么存在最优14-正则(n,{3,5},(2,1),1,(2/3,1/3))-OOC.  定理1.14如果n≡15,75(mod90)>15,那么存在最优(n,{3,5},(1,2),1,(1/3,2/3))-OOC.  定理1.15如果n≡14,70(mod84)>14,那么存在最优(n,{3,5},(2,2),1,(1/3,2/3))-OOC.  本文共分为四章:第一章介绍一些基本概念,光正交码和变重量光正交码的相关结论及本文的主要结果.第二章讨论Φ(n,{3,5},Λa,1,Q)的上界.第三章讨论最优(n,{3,5},Λa,1,Q)-OOCs的构造,其中Λa∈{(2,1),(1,2),(2,2)}.第四章是小结及可进一步研究的问题.
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