Laplace特征值问题是一个内容丰富、应用广泛、多学科交叉的经典研究课题,广泛存在于电磁传播理论、量子力学、黎曼流形拓扑、光薄膜震动、热辐射等工程领域.它是众多特征值问题研究的基础,常见的数值求解方法有:有限元、有限差分、边界元等.但逼近效果并不理想,需要借助于网格,对于求解复杂区域需要花费较大的网格代价,这些现状都急需改善.因此,迫切的需要探索出新的高精度数值逼近方法.目前径向基(RBF)无网格方法求解椭圆、抛物、双曲类偏微分方程(PDE)、以及高速碰撞、大变形、断裂力学、疲劳损伤等问题有很好的数值效果,但对于特征值问题的求解仍处于稀缺和待发展阶段.本文使用了强形式的RBF无网格配点法,理论包括非对称的Kansa配点法,以及对称的Hermite配点法;由于离散考虑了 Drichlet边界条件u=0,使得离散系统带有弱奇异性,本文提出了 RBF无网格法与数值迭代算法相结合的思想来求解Laplace特征值,属于RBF无网格在应用范围上的新拓展.最终将问题转化为求解带有弱奇异性的广义特征值Ax=λBx,再使用隐式重启的Arnoldi、Jacobi-Davidson算法进行迭代求解,数值结果验证了该方法的有效性,不但能很好地抑制奇异性,而且还能提高特征值的逼近精度.本文通过分离变量原理分析了 Laplace特征值的解析解,还在方域、圆域、L型区域上分别做了 RBF无网格数值实验,数值结果验证了该方法的有效性.本文采用RBF无网格数值法逼近Laplace特征值,分析并对比了 Kansa与Hermite配点法的函数基底、数值误差图、收敛图,得出的结论是:在三种函数基底中IMQ的数值效果最好,两种无网格配点法中Kansa方法的逼近精度略高,收敛性上两者都具有不稳定性的特点.求解结果还与五点有限差分、线性有限元进行了比较,发现本文的逼近效果更好.此外,关于特征值逼近区间的截断问题,本文的结论是:可以高精度的逼近前3个特征值,这与五点中心差分有类似的结论,但RBF无网格的精度更高.最后,本文使用MATLAB GUI开发出了 Laplace特征值的数值求解软件,实现了按需对应输出Lapalce特征值的精确解、误差图、收敛图、特征函数的二维投影等,数值方法包含了:RBF无网格、有限差分、有限元、谱方法,具有实用性强、利于比较、界面美观等特点.