近些年来，有诸多学者研究拉格朗日平均曲率流的自相似解的各种刚性定理，自相似解可以分为两类情形:自相似收缩解(self-shrinking)和自相似膨胀解(self-expanding solution).相对于自相似收缩解刚性定理研究，自相似膨胀解的刚性定理研究难度更大，因此自相似膨胀解的刚性定理研究至今仍无较大进展.　　本学位论文主要方程模型是基于如下蒙日安培型方程detD2u=exp(-u+1/2n∑i=1xi(e)u/(e)xi);知道这类方程是伪欧式空间中拉格朗日平均曲率流的自相似收缩解.其对应的自相似膨胀解detD2u=exp(u-1/2n∑i=1xi(e)u/(e)xi)　　本文主要研究几类微分方程解的伯恩斯坦定理，也就是说二阶方程的伯恩斯坦定理，即什么条件下对应方程的解是二次多项式.进而完善自相似解刚性定理内容.　　第一章为绪论，主要是介绍拉格朗日平均曲率流问题的研究背景和现状，以及高余维子流形伯恩斯坦定理简述，并给出文中所用到的定义和引理、命题及主要定理.　　第二章考虑伪欧式空间的拉格朗日平均曲率流的自相似膨胀解，自变量维数为1的情况，{ u"=exp(u-1/2tu),u(0)=0.t∈R的解的伯恩斯坦定理.利用偏微分方程中Cauchy-Kowalevskya定理.对所得引理中的解的性质进行适当的放宽，得出本节主要结果.然后考虑将方程进行一般化的推广，{ u"(t)=F（u-1/2tu），u=u(t),t∈R(0.1)u(0)=0.对函数F做一定的限制，得出满足方程(0.1)的解析解必然可以表示为一个二次多项式，同样利用偏微分方程中Cauchy-Kowalevskya定理，对所得结论中解的正则性要求进行放宽，最后得出本节主要定理.　　第三章考虑伪欧式空间的拉格朗日平均曲率流的自相似收缩解，自变量维数为1的情况{u"=exp（-u+1/2tu），u(0)=0.t∈R的解的伯恩斯坦定理.对u的自变量t=0处邻域进行泰勒级数展开，得到类似于第二章的引理.同样的利用偏微分方程一般理论中的Cauchy-Kowalevskya定理，对引理进行适当的条件放宽，最后得到本文的主要结果.　　进一步将本章节的方程进行一般化推广，{ u"=F（-u+1/2tu）,(0.2)u(0)=0.t∈R;对函数F做一定的限制，得出方程(0.2)的解析解的表达式必然是一个二次多项式这一引理，利用偏微分方程一般理论中Cauchy-Kowalevskya定理，对引理中的解的正则性要求进行放宽。于是得到本文主要结论.　　第四章考虑一类偏微分方程一维情形的解伯恩斯坦定理{u"=exp(at-bu),u（t）=u，t∈R;本节中创新性的给出了一种新的证明方法，使得证明过程更为简洁.得出方程的解可表示为一个二次多项式.　　第五章作为本文的结束语，以及对本文问题的主要工作以及创新点进行总结说明，并且对进一步研究提出假设.