狄拉克材料是指一类特殊的晶体材料,它们的低能电子激发能够用相对论量子力学的狄拉克方程描述。以石墨烯为例,本文介绍了狄拉克材料的基础概念和特点。基于对石墨烯狄拉克态的调控,人们提出了谷电子学,量子自旋霍尔效应和量子反常霍尔效应等丰富的新颖物理。进而,本文简述了这些相关领域的发展状况,并指出了发展中存在的一些问题。密度泛函理论计算在狄拉克材料研究中发挥着重要作用。本文随后介绍了密度泛函理论的基本原理和具体实现,描述了狄拉克材料相关的一些拓扑不变量的计算方法。通过理论分析和基于密度泛函理论的第一性原理计算,本文发展了狄拉克材料相关的物理和对应的材料实现。这些新颖的发现展示在四个方面：在谷电子学研究方面,本文在反铁磁六角蜂窝状晶格中发展了自旋和谷相关的物理。将谷自由度耦合到反铁磁序中,会出现一个以自旋和谷指标相乘来表征的崭新的电子自由度,这将导致耦合自旋和谷的光学选择性和反常霍尔效应。这些性质能够实现自旋-谷空间的光学极化和利用自旋流,谷流和电荷流的电学探测／操控。反铁磁六角蜂窝状晶格的磁畴畴壁上有着谷保护的边界态,它们将提供自旋依靠的边界输运。第一性原理计算展示反铁磁的单层MnPX3(X=S, Se)能够实现理论所描述的光电子性质。在拓扑绝缘体设计方面,本文提出了一个基于超晶格结构的谷调控机制。利用谷相关的狄拉克型界面态间的聚合,在有着多个对称性不相关的界面态的双元超晶格中,可以引导多种量子拓扑相变。这一机制带来了丰富的电子相图,为设计强拓扑绝缘体,弱拓扑绝缘体和拓扑晶态绝缘体提供了指导。通过第一性原理计算,在沿[111]和[110]方向生长的碲化锡和碲化钙的超晶格中进一步演示了上述的机制。在量子反常霍尔效应研究方面,本文提出了一个新颖的基于简单氧化物的的材料预测。第一性原理计算发现在二氧化铬和二氧化钛异质结构的能带中,会出现四个单自旋的狄拉克点。在自旋轨道耦合作用下,这些单自旋狄拉克态是场可调节的。面外磁化使二氧化铬和二氧化钛超晶格呈现量子反常霍尔效应。这一新颖的陈绝缘体是受对称性保护的。它的拓扑能隙对应43K,计算表明其能呈现数值为±2e2/h的量子化霍尔电导。将量子拓扑相与有着成熟生产工艺的简单氧化物相结合,这将极大的拓展拓扑材料的研究视野。在拓扑绝缘体边界态修饰方面,本文发现对于拓扑非平庸的Bi(111)双层纳米带,边界修饰移除了拓扑平庸的边界态,进而恢复了拓扑非平庸边界态的线性色散。通过对比化学修饰前后的边界态,Bi(111)双层纳米带提供了一个简单的平台,用以研究边界态的电导涨落。化学修饰也改变了边界态的穿透深度和自旋结构。其中,对于扶手型的纳米带,电子的自旋和动量不再垂直。本文提出一个低能有效的模型,用于解释Bi(111)双层纳米带的自旋结构。