偏微分方程是科学家对自然物理现象建模的一类重要手段,例如Poisson方程用于描述势场与电荷或质量密度分布的关系;Navier-Stokes方程用于描述粘性流体物质运动过程中速度以及压强的变化;Helmholtz方程用于描述物理波的传播现象等等.但是在现实世界中存在着大量的、复杂的物理现象无法通过单一偏微分方程进行刻画.当物理区域中不同位置上的介质具有不同的特性时,常用异质偏微分方程来描述异质区域中相关物理量的状态和变化,此时方程具体表现为系数函数是不连续的.异质偏微分方程的数值求解通常比求解单一方程困难许多,直接应用经典的数值方法往往会遇到一些棘手的问题.传统的有限元方法或有限差分法离散异质偏微分方程得到的线性代数系统通常是病态的,另外基于物理定律的界面约束条件需要被特殊地处理以保证算法收敛.本文关心异质偏微分方程的数值求解问题,以流体-流体耦合模型,异质Poisson方程,异质Helmholtz方程为研究对象,以区域分解方法为主要解耦和算法工具,提出求解模型问题的稳定、高效、可扩展性强的数值算法.流体-流体耦合模型描述的是在关心的物理区域上两种不相容的流体相互作用的物理过程,数学上使用具有摩擦型界面条件的耦合Navier-Stokes方程进行刻画.本文通过对流体-流体耦合模型进行线性化和时间离散得到Stokes-Stokes耦合方程,进一步提出求解该系统的Schwarz交替算法.我们通过能量分析法得到Schwarz交替算法对于任意大于0的牵引系数（traction coeffcient）都是收敛的.进一步借助Fourier分析,我们首次得到算法的收敛因子分别与流体粘性系数、牵引系数、时间步长参数的关系.特别地,理论分析证明了算法收敛因子与空间离散步长无关.为了得到收敛更快的区域分解算法,本文提出针对于模型问题的优化Schwarz方法.不同于使用基于物理界面传输条件的Schwarz交替算法,优化Schwarz方法构造极限状态下满足物理定律的人工界面传输条件,基于优化的方法得到最优的传输参数.具体而言,本文利用Fourier分析得知最优界面算子是伪微分算子,其对应的界面传输条件在数值计算中难以应用,因此构造近似的Robin型和双边Robin型界面传输条件.我们通过求解最小最大问题得到两类近似界面条件的最优传输参数,并在空间步长很小的渐近意义下分析最优传输参数和算法收敛因子.一系列的数值实验说明了提出的算法是稳定且高效的,同时验证了理论的分析结果.本文首次提出深度区域分解方法（deep domain decomposition method）,其联结深度学习和区域分解的思想,可求解定义在复杂区域上的异质偏微分方程.基于网格离散的传统区域分解方法在求解复杂区域上的偏微分方程时,计算精度会受到网格离散以直代曲误差的影响.而深度学习在求解偏微分方程问题上是无网格的,因此可适用于复杂区域上的模型问题.但深度学习无法直接处理异质偏微分方程中界面条件的异性性质和解的不连续性,不可直接用于求解异质偏微分方程.深度区域分解方法继承了深度学习和区域分解方法的优点,具有无网格、可并行计算的特性.该方法首先将异质偏微分方程根据区域性质分解成多个子问题,然后使用深度学习方法分别求解子问题,最后基于界面传输条件迭代更新数值解.本文在Tensor Flow框架下使用随机梯度下降法训练神经网络参数,得到以神经网络为模型的偏微分方程数值解.在使用训练数据优化神经网络的损失函数时,可以将大量的内部训练点分组,并分别将每一组数据和边界训练点合并成多个批次的训练集.事实上,深度区域分解算法在求解不同的方程时,我们根据方程的性质选择界面传输条件和神经网络模型.在求解异质Poisson方程的数值实验中,发现深度区域分解方法继承了传统区域分解方法的一些性质.算法达到收敛的所需要的迭代次数只与子区域的个数和相邻区域的重叠量有关,与函数空间大小无关.在多种实验设定下,深度区域分解算法的数值收敛率与传统区域分解算法理论收敛率相吻合.面对具有曲界面异质Helmholtz方程的数值求解问题,本文采用激活函数为平面波基函数的复值神经网络作为模型,使得在神经网络层数少和（或）在内部区域训练点少的情况下仍然能达到相对误差为10-~3的精度.异性介质上齐次和非齐次的Helmholtz方程在多种情况下的数值实验结果验证了深度区域分解算法保留了传统区域分解的性质的同时,还可以扩展应用到更复杂的偏微分方程模型问题.本文的研究丰富了Schwarz交替算法和优化Schwarz方法在流体-流体耦合模型中的理论,我们首次提出深度区域分解算法以探索深度学习和区域分解方法在数值求解异质偏微分方程问题上的更多可能性.在应用层面,面对需要数值模拟流体-流体耦合系统的工业应用中,本文提供了高效且稳定的优化Schwarz算法.而面对异质Helmholtz方程或是复杂区域上异质偏微分方程的数值求解问题时,本文提出的深度区域分解方法是一类可行且富有竞争力的算法.