本文主要利用对称理论,以计算机代数系统软件Maple为工具,研究一般Hopf方程和Hopf族的可积性质,并对方程进一步求解。第一章绪论部分,主要介绍了孤立子理论的发展和现状,以及对称理论、符号计算在孤子理论中的重要作用。第二章给出了对称群、守恒律和群不变解等预备知识,为后面的研究做铺垫。第三章从定义出发,研究了Hopf方程的对称、强对称,得到了高阶对称的形式。接着给出了遗传算子的计算步骤,在遗传算子的作用下,提出了Hopf输运(扩散)方程,并研究其可积性质和具体方程的求解。第四章研究了一般Hopf方程和Hopf族。一般Hopf方程存在无穷多对称,可以用含有任意维任意函数的对称表示。本文提出了新的不变函数定义,通过研究不变函数、不变算子、强对称、遗传算子,利用一般对称理论,推导出了拥有无穷多对称和Lax对的Hopf族,并通过hodograph变换得出了Hopf方程的一般解。对于二阶Hopf方程(Hopf扩散方程,也称为Hopf输运方程),本文给出了五类无穷多对称。特别地,Hopf输运方程存在主枝解,这个解与通常的一般线性扩散方程的解相联系。本章最后给出了扩散方程几类特殊的精确群不变解。第五章对整篇文章的成果进行了总结和讨论。