幂率现象和渗流过程一直是复杂网络领域广泛关注的热点。前者普遍存在于物理,生物、社会学、经济学以及计算机科学等多个领域,对我们理解复杂系统的结构和演化机理有着重要作用;而后者则是我们研究网络上动力学的重要工具,例如网络的容错、病毒的传播、信息的流动等等。　　 虽然幂率的研究已积累了不少理论模型和实证结果,然而幂率,或者可能更为宽泛地说,复杂系统的发展在整体上依旧面临几个重要问题。首先在建模上,大部分先前的研究注重系统中单一幂率特征的重建,而对于某些幂率特性突变的特征以及多幂率混合的现象没有太多关注。幂率突变的一个最主要的例子便是所谓的双段幂率分布。尽管它是幂率家族的重要成员,对于它形成机理的研究非常之少;多幂率混合的特征在之前的实证研究中常被忽视,但它却对我们理解整体幂率的微观组成具有重要意义。其次在建立模型后,对模型适用性方面的研究非常缺乏。具体来说,虽然我们已经有很多数学上完美的模型,但是却不清楚在它们之中哪些才是和现实系统吻合的,又或者在多大程度上吻合?通常模型推导出的结论会被用来和实际数据比较,但其基本假设和具体的内部机制并没有通过实证来提供充分的支持。最后在实证方面,大部分研究都采用系统孤立的方法,例如通过拓扑自身的信息归纳出拓扑的演化规律而不关心其所在的环境以及造成这种规律的内因和外因。但是复杂系统毕竟是开放式的,它与其周围环境的关联是它演化过程不可分割的部分。将系统的演化和其外部环境耦合在一起考虑,研究环境对系统演化影响的实证研究对全面理解各类复杂行为具有重要作用。　　 对于渗流研究,近几年出现了一个高潮,这主要是源于所谓的爆炸性渗流的发现。传统的渗流过程是通过不断占据节点或边最终引起网络最大联通集团发生相变的过程。该过程历来被认为属于连续性相变,即序参数(最大连通集团的大小)不会在相变过程中发生跳变。然而最近人们发现,通过适当地引入一种竞争机制,渗流可能会发生非连续的突变,故命名为爆炸性渗流。虽然后来的研究发现,随机图上的地键渗流其实依然是连续的,但是这个方向依然有广阔而丰富内容值得研究。例如,随机图上爆炸性座渗流是否会表现出非连续性?爆炸性渗流导致的相变点是否有某种普遍规律?它们对我们理解网络结构的容错性、抗攻击能力有怎样的意义。这些问题具有理论和实际的双重价值,需要我们深入地研究。　　 针对上述的讨论,本论文中我们将涉及下面几个问题:1.双段幂率模型及其适用性的研究;2.开放式航空网络的实证分析;3.设施分布中多标度率的涌现;4.ER随机图上爆炸性渗流相变点分析;5.ER随机图上爆炸性渗流的连续性问题。　　 论文的主要贡献如下:　　 1.双段幂率模型的提出及其适用性的确定。我们引入一个随机模型来解释双段幂率分布。该模型结合了适应度的概念和噪声涨落。我们证明如果系统中变量的数量是随时间指数增长的,则正态分布的适应度耦合变量自身的指数演化便可导致双段幂率的涌现。涨落本身并不会定性地改变该结果,而只会影响第二段幂率的标度指数。　　 2.开放式中国城市航空网的实证分析。我们将经济因素看成实际网络的外在环境,通过研究节点度与GDP的关联,确定了实际网络的度演化方程,为上一章前提出的双段幂率模型适用性提供直接的证据。我们发现,中国城市航空网中的适应度的身份是GDP增长率。我们同时发现了另～个有趣的结论,即网络对于何种节点何时加入网络具有偏好性而不是完全随机选择的。我们指出,这些结论如果不结合外在环境是无法用传统的孤立分析法得到的。　　 3.设施分布多标度的混合特征。我们通过对中国设施数据的实证研究,我们发现一般情况下人口与设施密度之间幂率关系的标度指数并不具有先前模型所预言的普适性,而是会随着人均GDP增长而增加。换而言之,我们所观察到的整体的幂率特性其实是多个标度函数的混合。这暗示着设施可以根据其外在环境,改变自身的公共或商业属性。我们认为这种多标度性来源于不平衡的区域经济。通过弓f入地区消费能力,我们重新修正了先前的模型并再现了观测到的多标度特征。　　 4.ER随机图上爆炸性渗流相变点分析。我们提出了一个一般化的爆炸性座渗流模型并分析其在ER随机图上的行为,重点关注其相变点的规律。我们证明了极限相变点的TC＜1的存在,并通过各种有限尺度分析推测出极限相变点与网络平均度七之间服从TC～1/√k。这个结论暗示了ER随机图上的所有爆炸性渗流(或其他具有相同效应的渗流过程)的相变点与节点度服从幂率关系。这是一个极为普适的结论。我们还分析了这种幂率关系在度较小时失效的原因,并讨论了爆炸性渗流对理解网络鲁棒性的意义。　　 5.ER随机图上爆炸性渗流的连续性问题。我们证明了爆炸性渗流发生的必要条件是网络必须是稀疏的。同时利用各种模拟和有限尺寸尺度分析来确定渗流是否是非连续的,并求出了相变过程的临界指数。我们发现,当且仅当参量m→∞时,爆炸性渗流才可能是非连续的,而对于一切有限的m渗流过程都是连续的。