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在1966年,Leonard利用small子模定义了small模,给出了small模的基本性质和等价刻画.在2000年,周毅强将small子模推广到δ-small子模.关于模RM的子模N,如果对M的任意子模L,若L+N=M,M/L是奇异模,都有L=M,则称N是M的δ-small子模.于是有M的全不变子模δ(RM)=∑{N：N是M的δ-small子模},并且有soc(RR)(？)δ(RR), γad(RR)(？)δ(RR)在1988年, Nicholson和Watters称模RM是PS-模,如果soc(RM)是投射模.并称环R是(左)PS-环,如果模RR是PS-模.同时详细研究和讨论了PS-环的性质.正是在这些工作的启发下,我们研究了δ-small模和具有投射δ(RR)的环.在第二章中,我们利用δ-small子模定义了δ-small模.称模RM是δ-small模,如果RM是某个模的δ-small子模.那么模RM是δ-small模当且仅当RM是它的内射包的δ-small子模.证明了δ-small模关于子模,商模,有限直和是封闭的,并且对遗传环上的左R-模正合序列0→N→M→M/N→0,M是δ-small模当且仅当N和M/N是δ-small模.作为这个结论的推论我们有主理想整环上的模是δ-small模当且仅当torsion部分和torsion free部分是δ-small模.进一步有主理想整环上δ-small模的torsion子模没有基本子模.证明了主理想整环上的torsion模RM是δ-small模当且仅当RM的准素分支是有界的.进一步还证明了左遗传环上的模RM是δ-small模当且仅当RM没有非平凡的内射商模.在第三章中,我们将δ(RR)是投射的环R称为(左)Pδ环.给出了一个具体的Pδ-环.进一步我们研究了Pδ-环的性质.证明了如果环R是Pδ-环,则R有忠实的Pδ-模.同时证明了如果环R=(?)i=1nRi,则R是Pδ-环当且仅当每个Ri是Pδ-环,并且当R是von Neumann regular环时,总有δ(RR)=soc(RR)我们也用例子说明这个结论反过来并不一定成立.在本章的最后我们研究了Pδ-环与PS-环之间的关系.虽然对环R来说总是有soc(RR)(?)δ(RR),但是我们用两个例子详细地论证了Pδ-环和PS-环之间并不具有包含关系.