【摘 要】
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本文主要讨论两类带有凹凸非线性项的椭圆方程.首先考虑带有凹凸非线性项的椭圆方程:对于λ≤-λ1这类情况,我们考虑一个更为一般的方程(P2):其中Ω是RN中的有界光滑区域;μ>
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本文主要讨论两类带有凹凸非线性项的椭圆方程.首先考虑带有凹凸非线性项的椭圆方程:对于λ≤-λ1这类情况,我们考虑一个更为一般的方程(P2):其中Ω是RN中的有界光滑区域;μ>0是参数;λ1是-△在H01(Ω)中的第一特征值;1<q<2且f∈C(Ω × R,R).我们对方程(P1)和(P2)中的f∈C(Ω× R,R)作适当假设.由于我们给出的条件中缺少(AR)条件并且在方程(P2)中λ ≤-λ1,因此在第二章中,我们不能用山路定理来解决问题,而是先利用(C)*条件下的局部环绕定理证明方程(P2)非平凡解的存在性.接着,应用(Cerami)条件下的喷泉定理证明带有凹凸非线性项的椭圆方程(P1)无穷多解的存在性.其次,我们考虑带有凹凸非线性项的Choquard方程:其中Ω是RN中的有界光滑区域;Iα是里斯位势;α∈(0,N),μ是参数且λ>0.因为Choquard方程也是一类椭圆方程,我们借用椭圆方程中处理凹凸非线性项的思想,对f,g作一些不同的假设,在第三章中利用(PS)条件下的山路定理,喷泉定理和Hardy-Littlewood-Sobolev不等式证明当p∈(?)(N≥1)时,(P3)方程非平凡解和无穷多解的存在性.
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