【摘 要】
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曲面论是古典微分几何的一个重要组成部分.Biconservative曲面与双调和曲面密切相关,是古典微分几何中一类重要的曲面,近年来备受学者关注.本文考虑三维空间形式中一类满足方程A▽H=kH▽H的曲面,其中A为形状算子,H为平均曲率,k为任意常数.这类曲面被称为广义Biconservative曲面.特别地,当k=-1时,广义Biconservative曲面即为Biconservative曲面.显
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曲面论是古典微分几何的一个重要组成部分.Biconservative曲面与双调和曲面密切相关,是古典微分几何中一类重要的曲面,近年来备受学者关注.本文考虑三维空间形式中一类满足方程A▽H=kH▽H的曲面,其中A为形状算子,H为平均曲率,k为任意常数.这类曲面被称为广义Biconservative曲面.特别地,当k=-1时,广义Biconservative曲面即为Biconservative曲面.显然,广义Biconservative曲面是Biconservative曲面的一种自然推广.研究发现,相比于Biconservative曲面,广义Biconservative曲面的分类结果更为丰富.本文深入研究了三维空间形式中广义Biconservative曲面与线性Weingarten曲面之间的关系以及三维球空间和三维双曲空间中广义Biconservative曲面的分类问题,并对三维空间形式中广义Biconservative曲面的轮廓曲线进行了刻画.第二章通过引入广义Biconservative曲面的定义,证明了三维空间形式中具有非常平均曲率的广义Biconservative曲面一定是线性Weingarten曲面,且主曲率λ1,λ2满足方程（k-2）λ1+kλ2=0的旋转曲面一定是广义Biconservative曲面.第三章和第四章分别证明了三维球空间和三维双曲空间中的广义Biconservative曲面只能是常平均曲率曲面或者是旋转曲面.根据Gauss公式和Weingarten公式及其可积性条件,得到了广义Biconservative曲面所满足的微分方程,进一步通过求解微分方程确定了广义Biconservative曲面的显式参数形式.第五章通过在三维空间形式中构造曲率能量函数Θ,得到了第一变分公式及对应的欧拉-拉格朗日方程,并将广义Biconservative曲面的轮廓曲线刻画成Θ的临界曲线,即对于曲率能量函数Θ,广义Biconservative曲面的轮廓曲线满足相应的欧拉-拉格朗日方程.此外,通过证明具有非常曲率的临界曲线所生成的副法线演化曲面是广义Biconservative曲面,给出了三维空间形式中广义Biconservative曲面的一个构造方法.
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