随着科学技术的不断发展,非线性泛函分析己成为现代数学中的重要研究方向之一。非线性泛函分析是数学中既有深刻理论又有广泛应用的研究学科,以数学和物理学中出现的非线性问题为背景,建立了处理非线性问题的若干理论和方法。非线性微分方程问题源于应用数学,控制论,物理学等各种应用学中,是微分方程领域中一类重要问题,也是目前非线性泛函分析研究最关注的领域之一,引起了科学家的重视。近些年,基尔霍夫型问题的研究发展迅速。此问题与由基尔霍夫[26]提出的作为古典的D’ Alembert弹性弦的自由振动波动方程的扩展的一个固定的模拟方程相关联,至今己经有很多学者对该问题进行了研究,其主要的研究方法有下降流不变集,杨指标,山路引理,莫尔斯理论及局部环绕定理等。非线性哈密顿方程源于应用数学,物理学等各种应用学科中,是目前对非线性微分方程的研究中最为活跃的领域之一,这类方程解的存在性问题也是近年讨论的热点。至今己有许多研究者利用山路引理,弱拓扑集及环绕定理等方法,得到了哈密顿方程的解。本文利用变分法及变形的喷泉定理等方法分别研究了没有紧型条件的基尔霍夫型问题和非线性的哈密顿方程,分别证明了各方程非平凡解的存在性。根据内容本文分为以下三章：第一章概述了一些本专业的基本知识及相关的理论渊源。第二章着重通过变分法及喷泉定理来研究下列一类非局部的椭圆型基尔霍夫问题的多解其中实数a,b>0,参数λ>0,本文新的地方是我们在求解过程中不要求紧控制条件,通过运用截断技巧来获得序列的有界性,并使以往的一些结果和理论推广到RN上,从而提高和推广了以前相应的结论。第三章考虑一类超线性二阶哈密顿系统的多个同宿解。在本章中,我们考虑下列二阶哈密顿系统：u一A(t)u(t)+▽F(t,u)=0.其中A(t)∈C(R,RN×N)是对称的N×N阶矩阵函数,F(t,u)∈C1(R×RN×N,R),本章在更弱的条件下用极大极小方法中的喷泉定理,得到了一类超线性二阶哈密顿系统的多个同宿解。