近两个世纪以来,极限定理一直是概率极限理论研究的中心课题,纵览整个发展过程,令人印象深刻的是,经典问题的最终解决,主要靠工具的改进,也靠方法的精密化,例如rC不等式,Minkowski不等式,再到lderoH等更精细的不等式.然而Borel-Cantelli引理在概率论中有很重要的应用,目前已经有很多学者对此进行了研究,特别是在减弱Borel-Cantelli引理第二部分的条件,并且取得了很多完美的结果.　　本论文主要针对Borel-Cantelli引理的双边不等式的极限问题进行研究。运用常见的概率不等式以及概率论的基本性质,巧妙的证明了论文的定理.文献[1]中的主要定理和例子的证明过程存在一些问题.本文旨在指出文献[1]中的主要定理和例子的证明过程存在的问题,并且给出正确的证明.同时还给出了类似于Borel-Cantelli引理的双边不等式的结果.　　第一章给出了引言和若干必要的引理、推论及其证明.　　第二章给出了关于Borel-Cantelli引理的一些结果,并说明前面的结果是后面结果的特例.　　第三章指出文献[1]里主要定理的证明是错误的,我们用不同的方法,纠正了其错误,并给出了正确的证明,且举例说明.　　最后还给出了类似于Borel-Cantelli引理的双边不等式的结果,更多新的问题有待于我们进一步的研究。