本论文主要研究了与矩阵积分相关问题中的代数结构，具体包括拓扑递归中的霍普夫代数，和曲面剖分组合中的簇代数(cluster algebra)。形式矩阵积分的关联函数和配分函数存在大N展开。展开后的各阶项，对应着固定拓扑曲面上的多边形剖分的组合。由此，这种展开也称拓扑展开。另一方面，展开后的各阶项之间还满足一系列递归的方程，称为圈方程(loop equation)。拓扑递归是爱纳德（B.Eynard）在解矩阵积分的圈方程时，得到的一种解的结构。在一般的代数曲面上，它可以形式的定义出一列辛不变量和(τ)函数。这种结构广泛存在于很多领域，但它存在的原因还不是十分清楚。这里我们从代数角度去研究这种结构，以及拓扑展开项对应的剖分组合，得到的主要结果有:　　首先我们给出了拓扑递归中的霍普夫(Hopf)代数结构。由勒德-龙科(Loday-Ronco)霍普夫代数，伊斯特伟斯(J.N.Esteves)给出了拓扑递归树图表示上的霍普夫代数，并得到了图形上的一个递归公式。但树图上的勒德-龙科霍普夫代数不能推广到圈图的情形。重新组合他的结果，我们证明了，平面二叉树及其通过缩并相邻叶子给出的圈图完全等价于拓扑递归的图表示。然后我们定义了平面二叉树的括号表示。用一行数字标记平面二叉树的叶子，把同一分支上的叶子放在一个括号内。在某种意义下它是平面二叉树置换群表示（用顶点标记的方法）的对偶表示。　　在括号表示中，我们递归地定义了平面二叉树中新的积和余积。在勒德-龙科霍普夫代数中，积保持顶点数目不变，叶子减少一个;余积保持顶点数目不变，叶子增加一个。而在新的定义中，积保持叶子数目不变，但顶点增加一个;余积也保持叶子数目不变，但顶点减少一个。我们证明了它们构成新的霍普夫代数。新代数空间的基，除包含勒德-龙科霍普夫代数中要求的平面二叉树基外，还增加了空集作为一个基。　　勒德-龙科霍普夫代数中的积与余积改变了叶子数目，与叶子的缩并映射不能很好的相容。因此，勒德-龙科霍普夫代数不能，通过缩并映射推广到圈图中去。新定义的积和余积，保持了叶子数目不变，故可以自然地推广到圈图中，也即是拓扑递归图表示的圈图上。从而由表示映射诱导给出了拓扑递归中的霍普夫代数。拓扑递归结构与余积结构，本质上是相同的。在论文中，我们还把拓扑递归式用余积表示了出来。　　其次，对有立方势的形式1-厄米矩阵积分，我们给出了其关联函数和配分函数的拓扑展开项与簇代数的一种对应。对有立方势的形式1-厄米矩阵积分，利用威克定理可知，关联函数的拓扑展开和自由能，对应着不同拓扑的带边曲面上三角剖分的组合。对给定拓扑的曲面和固定数目的三角形，我们证明了每一种剖分唯一地对应着簇代数的一个扩展交换矩阵，反之亦然。并且剖分的自同构群可通过扩展交换矩阵给出。当簇代数的系数平庸时（对应曲面没有边界），扩展交换矩阵与一般交换矩阵相同。利用这种对应，我们把自由能完全用一系列簇代数中的变量重新表示了出来。并且在簇代数的转换(mutation)关系下，矩阵积分的值不发生改变。　　另外，我们还研究了簇代数中转换的性质，证明了簇代数中的部分结果。福明(S.Fomin)和泽勒维斯基(A.Zelevinsky)在提出簇代数时，证明了任意的簇变量都可表示为给定簇的洛朗多项式。利用簇代数的定义和洛朗现象定理，我们发现，对固定的簇变量，其洛朗多项式的很多性质在转换中得到保持。因对任意的簇变量，都可表示为其转换方向上相邻簇的交换多项式。也即，任意变量对给定簇(cluster)的洛朗多项式，和交换多项式有很多共同的性质。它们都是一个至少有两项的多项式，且没有公共的正幂次因子，不可分解。利用簇变量洛朗多项式的这一性质，我们证明了，对任意的簇代数，它的种子(seed)是由其簇唯一决定的。两个种子之间存在转换关系的充要条件是它们的簇之间只有一个变量不同。这一结论，说明了对任意的簇代数，其背后都存在着簇复形结构。　　由洛朗现象定理，对固定的簇变量，和其一给定簇的洛朗多项式，当给定的簇做转换时，相应的洛朗多项式要做变量的代换。根据洛朗多项式在转换中的变换形式，我们把转换分成两种类型:正幂次的代换和负幂次的代换。簇代数中任意的一个转换链，都可分解为这两种转换的组合。从转换的这一结构出发，利用我们得到的转换的性质，我们还证明了，对任意的簇代数，其簇变量关于某一个给定簇的洛朗多项式，系数都是正的。这一结论在很多特殊类型的簇代数中已经得到证明。我们对任意的簇代数，给出了一个一般性的证明。