20世纪80年代以来，小波分析在数学领域中迅速发展，这主要因为两方面原因：第一，它有着深刻的理论背景；第二，它在工程中的应用十分广泛，比如信号分析，图像处理等。但是在实践中我们也发现，小波分析在处理二维甚至更高维信号的突变处如边缘时，效果并不是十分理想，这主要是因为高维小波是一维小波通过张量积的方式得到的，方向性较差，而信号的边缘等突变处包含了高度各向异性的对象。为了克服小波分析的这种局限性，研究者们发现了许多具有方向性的小波。2004年，Gitta Kutyniok, Demetrio Labate, Wang-Q Lim等等研究者们发现了复合伸缩小波（wavelets with composite dilations），由于该小波的构造基于控制伸缩及方向的矩阵A,B。所以称其为AB小波。AB小波中，有一类为正交小波，以二维情形为例，Demetrio Labate等建立了有三个母函数生成的的正交AB L2 (R 2 )多小波。由一个母函数生成的AB小波称为Shearlet。已有定理指出，Shearlet不能构成L2 (R 2 )的标准正交基。AB小波不仅具有很好的方向性，能准确检测出信号突变处的方位，如边缘部分，而且相应的级数展开能有效表示信号的信息，因此，AB小波近年来受到很大的关注，有关这类小波的数学理论也在不断地建立与完善。研究小波的一个重要工具是多尺度分析，即MRA，但是由于不同的AB小波由不同数量和类型的母函数生成，所以不能统一建立AB小波的多尺度分析理论。对于三个母函数生成的正交AB小波以及Shearlet，Gitta Kutyniok, Demetrio Labate等给出了相应的MRA，对于其它类型的AB小波，目前还没有建立MRA理论。正交小波的优越性是明显的，但如前所述，Shearlet缺少正交性，而由于前述正交AB小波有三个母函数生成，由此增加了其结构的复杂性。在不能建立正交小波的情况下，人们自然考虑建立双正交小波，因此建立双正交AB小波理论是非常有意义的。本文研究了给出以下结果：(1)对一类非正交的AB小波建立了MRA结构；(2)研究了一类AB小波双正交理论，探索相应滤波器满足的关系；(3)建立该类AB小波双正交结构下的Mallat算法；(4)在上述的Mallat算法的基础上，为了能便于计算，研究了抽样值算法，并估计了误差；(5)研究了双正交AB小波的提升格式，并建立相应的函数分解与重构公式。