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20世纪80年代以来,小波分析在数学领域中迅速发展,这主要因为两方面原因:第一,它有着深刻的理论背景;第二,它在工程中的应用十分广泛,比如信号分析,图像处理等。但是在实践中我们也发现,小波分析在处理二维甚至更高维信号的突变处如边缘时,效果并不是十分理想,这主要是因为高维小波是一维小波通过张量积的方式得到的,方向性较差,而信号的边缘等突变处包含了高度各向异性的对象。为了克服小波分析的这种局限性,研究者们发现了许多具有方向性的小波。2004年,Gitta Kutyniok, Demetrio Labate, Wang-Q Lim等等研究者们发现了复合伸缩小波(wavelets with composite dilations),由于该小波的构造基于控制伸缩及方向的矩阵A,B。所以称其为AB小波。AB小波中,有一类为正交小波,以二维情形为例,Demetrio Labate等建立了有三个母函数生成的的正交AB L2 (R 2 )多小波。由一个母函数生成的AB小波称为Shearlet。已有定理指出,Shearlet不能构成L2 (R 2 )的标准正交基。AB小波不仅具有很好的方向性,能准确检测出信号突变处的方位,如边缘部分,而且相应的级数展开能有效表示信号的信息,因此,AB小波近年来受到很大的关注,有关这类小波的数学理论也在不断地建立与完善。研究小波的一个重要工具是多尺度分析,即MRA,但是由于不同的AB小波由不同数量和类型的母函数生成,所以不能统一建立AB小波的多尺度分析理论。对于三个母函数生成的正交AB小波以及Shearlet,Gitta Kutyniok, Demetrio Labate等给出了相应的MRA,对于其它类型的AB小波,目前还没有建立MRA理论。正交小波的优越性是明显的,但如前所述,Shearlet缺少正交性,而由于前述正交AB小波有三个母函数生成,由此增加了其结构的复杂性。在不能建立正交小波的情况下,人们自然考虑建立双正交小波,因此建立双正交AB小波理论是非常有意义的。本文研究了给出以下结果:(1)对一类非正交的AB小波建立了MRA结构;(2)研究了一类AB小波双正交理论,探索相应滤波器满足的关系;(3)建立该类AB小波双正交结构下的Mallat算法;(4)在上述的Mallat算法的基础上,为了能便于计算,研究了抽样值算法,并估计了误差;(5)研究了双正交AB小波的提升格式,并建立相应的函数分解与重构公式。