本文分为两部分。 第一部分主要研究(解析)Dirichlet空间上的乘法算子(即解析Toeplitz算子)。 由坐标函数定义的乘法算子Mz(即Dirichlet移位)是Dirichlet空间上一个非常重要的算子，人们对它的不变子空间进行了广泛而深入的研究。自然地考虑Mz不变子空间的酉等价分类问题。S．Richter[43]证明了如果Mz的两个不变子空间M，N满足下列条件之一：(1)M(∩)N，(2)M中含有外函数，则M与N酉等价当且仅当M=N。 本文第一章，我们完整地回答了这个问题，即Mz的两个不变子空间酉等价当且仅当它们相等。Dirichlet移位是1重加权单侧移位。对于一般的n+1(n≥0)重加权单侧移位，我们考虑Dirichlet空间上与之酉等价的乘法算子，在一定条件下. 第二章节二的结果表明这类乘法算予只能由zn+1定义。 第二章节三我们刻画了Dirichlet空间上由两阶Blaschke积定义的乘法算子的约化子空间。算子分类是一个既复杂又困难的问题。具体到Dirichlet空间上，我们考虑有限阶Blaschke积定义的乘法算子的酉等价问题， 第二章节四完全刻画了与两阶Blaschke积定义的乘法算子酉等价的算子。 这些结果都是完全不同于Hardy空间和Bergman空间上的相应结果。 本文第二部分主要研究调和Dirichlet空间上Toeplitz算子的代数性质。 第三章完全刻画了调和Dirichlet空间上由调和函数定义的Toeplitz算子的交换性与半交换性。