分形插值函数的概念是在1986年由美国数学家Bamsley首先提出，它是一种新的插值方法，它在图象压缩、非光滑曲线和曲面的拟合等研究领域中显示出了独特的优越性，取得了巨大的成功。Barnsley所提出的分形插值函数是定义在区间上的连续函数，这类函数没有显式表达式，是由一组映射所生成的吸引子来确定的。因此，研究这类函数的性质需要一些独特的方法，传统的一些分析方法一般不能直接使用，必须开辟一些新的方法和理论。这样，分形插值也为函数论的研究提供了一个崭新的研究领域。 由于实际中存在着许多断裂的粗糙曲线和曲面，基于此，本文提出了具有间断点的分形插值方法。根据插值结点和间断点的情况构造二维空间上一个压缩映射，其不变集是过插值结点的间断曲线，它是满足预先给定的间断条件的间断函数的图像。从而可以用该方法生成或拟合那些具有不同粗糙度且处处不光滑的间断曲线。本文首先介绍了几种测度、维数、函数图像的计盒维数或Hausdorff维数定理。其次，介绍了一元分形插值函数及其图像的研究成果，包括迭代函数系统、分形插值函数及相关的基本概念，自仿射插值曲线的计盒维数，插值曲线的一些性质。最后介绍了递归分形插值函数，包括该分形插值曲线的构造方法和性质，以及它的计盒维数的计算公式。在此基础上研究了具有间断点的分形插值函数，给出了具有间断点的分形插值函数的构造方法，研究了它的性质，并给出了计盒维数的计算公式。