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本文主要研究椭圆型方程的数值解法与稳定性分析,并对其中一些热点领域中的相关问题进行了深入讨论,得到比较完善而重要的结果.介绍椭圆型偏微分方程和边界积分方程的研究背景和研究现状,提供论文中常用的基本概念、基础知识和主要数值求解方法,它们是后续章节讨论的前提.第一,研究带奇性的第一类边界积分方程的机械求积法及分裂外推.利用Sidi求积公式及中矩形公式推出了一维Cauchy奇异积分的求积公式及相应的Euler-Maclaurin表达式,同时给出了二维奇异积分的求积公式.在此基础上,构造了解带奇性的第一类边界积分方程的机械求积法,通过谱分析讨论了线性系统解的存在性和唯一性;利用聚紧和渐近紧收敛理论证明了数值解的收敛性和稳定性;同时给出了机械求积法误差的多参数渐近展开及在此基础上建立了分裂外推算法,分裂外推不仅可以得到更高精度的近似解而且得到了误差的后验估计.第二,利用有限差分法及外推来数值求解双调和方程.由于双调和方程不满足能量不等式,故对其数值解的存在性及收敛性分析中不能利用能量不等式这种估计方法去讨论,必须另辟蹊径.首先利用Hirt判定方法来讨论差分格式的稳定性问题;通过估计离散矩阵最小特征值模的下界来讨论差分方程的存在性问题;利用Taylor级数展开来讨论差分方程的收敛性;为了改善近似解的精度,给出了误差的渐近展开式及结合外推来提高数值解的精度.第三,通过有效条件数研究了差分方法数值求解双调和方程的稳定性判定.条件数越小说明数值算法越稳定,数值解的精确性就得到了保证.因此,将有效条件数应用到数值求解双调和方程中,可以证明有效条件数(通常情况下为O(h-3.5))要远比传统条件数小.特别地,在边界条件为齐次边界条件时最简有效条件数CondEE=O（1）,相比传统条件数Cond. = O(h-4),有效条件数的确小很多.故对于非齐次边值问题,通过变换v = u - uˉ（函数uˉ满足非齐次边界）把非齐次边界转化到齐次边界上来处理,以此来进一步减小有效条件数的值.最后,研究了在一定条件下,一般矩阵的可逆性可以通过特殊矩阵来判定;同时,通过特殊矩阵的谱半径我们可以获得一般矩阵的最小特征值的下界估计.