本文由两部分组成，第一部分将Gage不等式加强成更加等周的形式。第二部分研究几何Cauchy-Schwarz不等式的稳定性。 　　第一部分，将Gage不等式加强成更加等周的形式。早在1983年前后，为了研究平面闭凸曲线的缩短流问题，Gage[3]证明了如下不等式：对平面闭凸曲线γ，如果L，A分别是γ的长度和γ所围区域的面积，k是其曲率函数，则∫rk2ds≥πL/A.Gage称之为等周不等式。但他没有证明其中等号成立当且仅当γ为圆周，而作为等周型的不等式是应该证明这种结果的。本文利用单位速率外法向量流，通过努力证明了这种结果，从而把Gage不等式加强成更加等周的形式。利用Minkowski支撑函数将Gage不等式叙述成一个积分不等式，这可以视为Gage不等式的分析形式。 第二部分，首先叙述几何不等式稳定性的概念，然后研究平面闭曲线的几何Cauchy-Schwarz不等式的稳定性。对于平面简单闭曲线γ，其全曲率等于±2π，从而利用Cauchy-Schwarz不等式可得∫rk2ds≥4π2/L。利用Minkowski支撑函数，在Hausdorff距离的意义下研究这一不等式的稳定性.