本文主要考虑了非标准增长条件下的几类非线性抛物方程解的性质.这类问题来源于具有丰富物理背景的电子流变流体学、非线性弹性力学以及图像处理等实际问题.目前人们主要研究了这类问题稳态解的性质及相关解空间的性质,而本文则讨论发展型问题解的性质.本文分为如下四章：在第一章中,主要介绍了关于非线性抛物方程研究的发展状况,进一步还介绍了变指数Sobolev空间的发展以及它与常指数Sobolev空间的一些差异,最后我们阐述了本文所讨论的问题及使用的方法.在第二章中,我们讨论了一类非线性抛物问题其中p（x,t）满足这里的由于该问题中的非线性项a（u）|（?）u|p（x,t）-2（?）u中的系数α（u）可能无上界,这给我们研究解的存在性带来了困难.为了克服这个困难,我们结合Galerkin逼近技术和抛物正则化方法获得了上述问题解的存在性,具体的结果为：定理1设p（x,t）满足条件（2）—（3）且下面条件成立则问题（1）至少存在一个弱解.而关于解的唯一性,根据指数σ,p±的大小关系,我们有如下两个结果：定理2假设定理1中条件成立且Ω则问题（1）的非负解是唯一的.定理3假设定理1的条件及下面条件成立则问题（1）的非负解是唯一的.进一步我们还通过构造检验函数及使用凸分析的一些结论获得了如下结果：定理4假设定理1中的所有条件都成立且supp u C supp u0,如果u是问题（1）的非负解且f≡o.则有几乎处处于QT.定理5假设则问题（1）的非负有界解在有限时刻熄灭.即:u满足如下估计这里的C1为正常数定理6假设则问题（1.1）的非负有界解在有限时刻熄灭.即:u满足如下估计这里的C2为正常数.定理7设f（x）≡0,2≤p-<p+,如果存在一个正常数α满足并且下面条件成立则对于任意的0<σ,问题（1）的解满足如下估计在第三章中,我们讨论了一类具p（x,t）-Laplace算子的Neumann边值问题解的性质,即考虑如下问题由于第二章研究问题的解空间不利于我们研究Neumann边值问题,因此我们需要寻找新的空间去研究上述问题.在本章中我们构造了一个合适的解空间,并且证明了该空间的可分性、自反性、完备性等性质以及一类无穷次可微函数在该函数空间的稠密性,从而为我们使用Galerkin逼近技术提供了理论依据.接着通过利用Galerkin逼近技术将所研究的问题转化成常微分方程,然后利用常微分方程中一些经典结果获得了所研究的常微分方程解的存在性.进一步还通过做先验估计和紧性讨论证明了逼近解的极限函数就是我们所研究问题的解.我们首先考虑f（x,t,u）≡0的情形,主要结果是：定理8设p（x,t）满足条件（2）—（3）.如果下面条件成立则存在一个正常数T0（g±,||u0||∞,Ω,|Ω|）使得问题（4）有唯一解u（x,t）∈w（Qt0）∩L∞（0,T0；L2*；（Ω））.进一步,我们还采用能量估计法及常微分方程中比较原理证明了问题（4）解的熄灭性质.首先我们研究向量值函数F（x,t）=0的情形,其解熄灭的结果为：定理9设u（x,t）∈W（QT）∩L∞（0,T；L；2*（Ω））为问题（4）的解,并且下面条件成立则问题（4）的解在有限时刻T1*处熄灭,并且有限时刻T1*有如下估计其次,我们考虑了div（?）0的情形.在这种情形下,主要利用能量估计法并结合常微分方程的比较原理,获得如下结果：定理10设u∈W（QT）∩L∞（0,T；L*2（Ω））是问题（4）的解且下面条件成立（H11）存在一个正常数T0*使得对于所有的||F||q（.）≤ε（T0*-t）+α divF≡0,f（x,t,u）=|u|r-2-|Ω|-1∫Ω|u|r-2udx其中0<ε<1充分小.则问题（4）的解在有限时刻T2*处熄灭其中0<T2*≤T0*.最后,我们还考虑了（H12）u0∈L*2（Ω）；的情形.其主要结果为：定理11假设指数p（x,t）满足条件（2）—（3）,且下面条件成立||u||r≤B||（?）u||p（.）,则问题（4）至少存在一个弱解.下面我们将考虑问题解的爆破性质,特别是初始能量为正时解爆破性质以及指标p±,r和空间维数N之间的大小关系对该问题解的爆破的影响.首先定义设B是以下嵌入不等式的最佳常数,即对于任意的u∈W,有即令其中α1满足等式我们的结果为：定理12假设指数p（x,t）≡p（x）满足条件（2）—（3）,且下面的条件成立则问题（4）的解在有限时刻爆破.在第四章中,我们考虑了一类来源于图像处理中的数学模型—具p（x）-Laplace算子的高阶非线性抛物问题首先高阶抛物方程缺少了二阶抛物方程中的极值原理,所以我们不能把研究二阶抛物方程的上下解方法推广到高阶方程上.其次,由于变指数p（x）和非线性源的引入,使得研究经典高阶方程的一些办法也行不通,为此我们采用变分法和不动点定理相结合的方法证明了高阶抛物方程稳态解的存在性和唯一性.进一步利用差分逼近技术和做必要的先验估计和紧性讨论以及结合相应稳态问题解的性质,证明了高阶抛物方程解的存在性.在证明过程中,我们运用了迭代技术的思想获得了解对时间导数更高的可积性,这是别的作者未得到的结果（即使指数p为固定常数时）.首先我们研究了问题（5）的稳态问题,即如下问题通过使用变分法和运用Leray-Schauder不动点定理,同时做先验估计,获得了问题（6）解的存在性,即如下结果定理13假设u0∈w,p(x（Ω）,变指数p（x）,m（x）和非线性项f（x,u）满足条件（2）—（3）和其中则问题（6）至少存在一个弱解.此外关于解的唯一性有如下结果定理14如果f（x,u）=-k（u（x）-a（x））,其中k>0,p->2.则问题（6）至多存在一个解.对问题（5）解的存在性,我们有如下结果：定理15设指数p（x）满足条件（2）—（3）和p>2.如果下面的条件成立则问题（5）存在唯一解.最后我们利用磨光技术获得上述问题解的正则性结果：定理16假设指数p（x）和函数f（x）满足定理15中的条件.设u（x,t）是问题（5）的解.则u∈C2α,α（QT）其中α=1/p-.