本文主要利用变分法研究几类具（次）临界指标的拟线性椭圆方程（组）解的存在性和多重性.共分为四个部分.在绪论部分,我们首先介绍变分法的发展状况；其次介绍半线性椭圆问题和拟线性椭圆问题的研究状况;最后,我们提出本文所要研究的问题.在第一章,我们研究具临界Sobolev指标的拟线性椭圆方程Neu-mann边值问题解的存在性和多重性,其中Ω（?）RN为有界区域,且边界（?）Ω是光滑的.参数ε>0,1<p<N,p<q<p*,p*=Np/Np为临界Sobolev指标.函数V（x）,Q（x）,P（x）满足如下条件：（A1）Q（x）,P（x）是区域Ω上的连续函数,并且当x∈Ω时,Q（x）>0,P（x）≥0；（A2）V（x）是区域ΩΩ上的连续函数,并且当x∈Ω时,V（x）≥0且V（x）（?）0.该问题的难点在于Sobolev嵌入W1,p（Ω）→Lp*（（Ω）是非紧的,系数V（x）在边界上可能是无界的.为了克服这些困难,我们通过引进合适的加权Sobolev空间,并在该空间上利用Lions的集中紧原理证明了该问题对应的能量泛函满足局部（PS）。-条件,进而再运用山路引理获得了该问题解的存在性和多重性.我们的主要结果如下：记定理1假设条件（A1）（A2）成立,且0∈（?）Ω,H（0）>0,Qm=Q（0）.如果函数Q（x）,V（x）满足如下条件：（A3）QM≤2p/NpQm当x→0时,|Q（χ）-Q（0）|=o（|χ|α）,其中1<α<N/p-1;则当N≥2p,λ>0时,问题（1）至少存在一个非平凡解.定理2假设条件（A1）（A2）成立.若QM>2p/N-pQm,且函数P（x）,V（x）满足条件：（A5）当x∈Ω时,P（x）（?）0,V∈L1（Ω）.则存在常数λ*>0使得当0<λ<λ*时,问题（1）至少存在一个非平凡解.定理3假设条件（A1）（A2）成立.若QM>2p/N-pQm,且函数P（x）,V（x）满足如下条件：（A6）当x∈Ω时,P（x）>0；（A7）在一点x0∈Ω及常数δ>0使得当x∈B（x0,δ）（?）Ω时,函数V（x）=0.则存在常数λ*>0,当λ>λ*时,问题（1）至少存在一个非平凡解.定理4假设条件（A1）（A2）成立.若QM>2p/N-pQm,且函数P（x）,V（x）满足如下条件：（A6）当x∈Ω时,P（x）>0；（A7）存在一点x0∈Ω及常数δ>0使得当x∈B（x0,δ）（?）Ω时,函数V（x）=0.则对于每一个自然数m,都存在常数（?）m>0,当λ>（?）m时,问题（1）至少存在m重非平凡解.在第二章,我们首先考虑具临界Hardy-Sobolev指标的拟线性椭圆方程的Robin边值问题：其中（?）Ω∈C1且0∈（?）Ω,0<t<p,p*（t）=p（N-t）/N-p）是临界Hardy-Sobolev指标,α∈L∞（（?）Ω）为非负函数,函数f满足如下条件：（B1）f∈C（Ω×R+,R）,且存在函数a（x）∈L∞（（Ω）,a（x）≤0使得对于所有的x∈Ω都有（B2）对于所有的x∈Ω,有（B3）1/pf（χ,τ）τ-F（χ,τ）≥0；（B4）f∈C（Ω×R,R）,并且满足f（x,-T）=-f（x,T）以及存在函数a（x）∈L∞（Ω）,a（x）≤0使得对于所有的x∈Ω都有（B5）对于所有的x∈Ω,有（?）（?）=0我们主要是运用Hardy-Sobolev不等式,Lions的集中紧原理,山路引理以及强极值原理等技术证明了该问题正解的存在性,并且证明了该问题在一定的条件下至少存在一个正解和一个负解.其主要结果如下：定理5假设条件（B1）（B2）（B3）成立.如果N≥p。且p≥2,则问题（2）至少存在一个正解.定理6假设条件（B3）（B4）（B5）成立.如果N≥p。且p≥2,则问题（2）至少存在两个非平凡解.其次,我们进一步研究具临界Sobolev指标和Hardy-Sobolev指标的拟线性椭圆方程Neumann边值问题：当问题中的参数λ>0时,我们主要是运用山路引理和集中紧原理获得该问题非负解的存在性.当参数λ≤0时,我们通过引入合适的空间,并在该空间上利用Ekeland变分原理和集中紧原理证明了该问题对应的能量泛函存在局部最小值,从而获得其解的存在性.我们所得的主要结果如下：当参数λ>0时,定理7假设函数Q（x）,P（x）为Ω上的正连续函数.如果则存在常数λ*>0使得当0<λ<λ*时,问题（3）至少存在一个非负非平凡解.定理8假设如果存在一点y∈（?）Ω使得Q。=Q（y）且满足当x→y时,|Q（y）-Q（x）|=o（|x-y|σ）,其中1<σ<N/p-1.则对于每一个参数λ>0,当N>2p-1时,问题（3）至少有一个非负非平凡解.当参数λ≤0时,定理9假设下面条件成立：（C1）Q（x）是Ω上的正连续函数；（C2）JP）（x）是Ω上连续函数且是变号的,并且满足（?）ΩP（x）/|x|tdx<0.则存在常数λ0>0使得当0≤λ<λ0时,存在一点u∈W1,p（Ω）满足αλ=Jλ（u）,并且该点也为问题（3）的一个非负非平凡解.这里的参数λ是问题（3）中参数λ的相反数.在第三章,我们首先研究如下具有变号权函数的拟线性椭圆方程组的Diriichlet边值问题解的存在性与多重性,其中1<q<p,α,β>1且满足p<α+β<p*权函数.f,g,h满足如下条件：（D1）.f,g∈Lq*（Ω）,其中q=α-β/α-β-α,f±=max{±f,0)≠0或者9==max{±g,0)≠0；（D2）h7∈C（Ω）且满足||h||∞=1,h≥0.其次,我们研究如下具有Hardy项和临界Hardy-Sobolev指标的拟线性椭圆方程组的Dirichlet边值问题解的存在性与多重性,其中λ,μ>0,0≤l<l,0≤s,t<p,α>1,β>1满足α+β=p*（t）,（?）=（N-p/p）p为Hardy最佳常数,函数f,g,h满足如下条件：（E1） f（x）,g（x）∈C（Ω）,并且当x∈Ω时,f（x）,g（x）≥0且f（x）,g（x）（?）0；（E2）存在常β0>0,ρ0>0使得B2ρ0（0）（?）Ω并且当x∈B2ρ0（0）（?）Ω时,f（x）,g（x）≥β0；（E3）h（x）∈C（Ω）,并且当x∈ΩΩ时,h（x）≥0且h（x）（?）0；（E4）对于任意的x∈B2ρ0（0）（?）Ω,都有并且存在常数β1>0使得当x→0时,h（x）=h（0）+o（|x|β1）.这里的ρ0在条件（E2）中已给出,β1满足0<β1<b（l）p*（t）-N+p.这类问题的难点在于方程组中的非线性项具有凸凹性,而方程组本身还具有耦合性,并且该类问题所对应的能量泛函是无下界的.为了克服这些困难,我们主要是借助于构造一个Nehari流形,并在该流形上利用变分法和类似于纤维映射的方法等获得了该类问题解的存在性与多重性.我们所得主要结果为：定理10假设条件（D1）（D2）成立.如果存在常数C0>0使得0<（|λ||f||Lq*）p/p-q+（|μ||g||Lq*）p/p-q<C0.则问题（4）至少存在两个非平凡解（u0+,υ0+）和（u0-,υ0-）且满足u0±≥0,υ0±≥0,u0±（?）0,υ0±（?）0于Ω上.定理11假设条件（D1）（D2）成立且f≥0（f≤0）.如果λ≤0（λ≥0）且p满足0<|μ|<C0,其中C0>0为常数.则问题（4）至少存在两个非平凡解（u0+,υ0+）,（u0-,υ0-）)并满足u0±≥0,υ0±≥0,u0±（?）0,υ0±（?）0于Ω上定理12假设条件（E1）（E3）成立.如果存在常数（?）1>0使得则问题（5）至少存在一个非负非平凡解（u0+,υ0+）.定理13假设条件（E1）-（E4）成立,且如果存在常数（?）2>0使得则问题（5）至少存在两个非负非平凡解（u0+,υ0+）,（u0-,υ0-）.