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本文首先研究了(公式略)
和(公式略)
在一定条件下的取值情况,我们的结果是
定理1 假设λ1,λ2,λ3和λ4是不同一符号的非零实数,并且至少有一个比值
λi/λj(i≠j)是无理数.再假设μ1,…,μs是非零实数,并使得对于某些i,j,l,m,
比值λ1/μi,λ2/μj,λ3/μl和λ4/μm是有理数.最后,给定η>0.那么存在一个至
多依赖于λ1,λ2,λ3,μ1,μ1,…,μs和η的整数s0,使得对于任意的实数γ和任意
的整数s>s0,不等式(公式略)
有无穷多素数p1,p2,p3,p4和正整数x1,…,xs解.
定理2 假设λ1,λ2和λ3是不同一符号的非零实数,并且λ2/λ3是无理数.
再假设μ1,…,μs是非零实数,并使得对于某些i,j,l,比值λ1/μi,λ2/μj和λ3/μl
是有理数.最后,给定η>0.那么存在一个至多依赖于λ1,λ2,λ3,μ1,…,μs和η
的整数s0,使得对于任意的实数γ和任意的整数s>s0,不等式(公式略)
有无穷多素数p1,p2,p3和正整数x1,…,xs解.
其次,我们考虑混合幂的素变数丢番图逼近,也即考虑不等式(公式略)
我们的结果是
定理3 如果λ1,λ2,λ3,λ4是正实数,λ1/λ2是无理数和代数数.令V是
well-spaced序列,δ>0.那么对于v∈V,v≤X和任意的ε>0,使得(公式略)
没有素数解p1,p2,p3,p4的个数不超过O(X20/21+2δ+ε).
最后,我们考虑算术数列中的素变数丢番图逼近,得到的结果是
定理4 假设λ1,λ2,λ3是不同一符号的非零实数,至少有一个λi/λj(1≤i<
j≤3)是无理数,η是实数,h是给定的正整数,lj(j=1,2,3)是整数,那么对
任意的实数ε>0,(公式略)
的解数大于Cψ-3(h)N2(logN)-3,其中C是与N无关的常数.
由定理4我们又得到
定理5 假设λ,μ是不全为负的非零实数,λ是无理数,k是正整数,h是
一个给定的正整数, l,l1,l2是整数,那么存在无穷多素数p(p≡l(mod h))和素
数对p1,p2(pj≡lj(mod h),j=1,2)使得
[λp1+μp2]=kp.
特别地, [λp1+μp2]表示无穷多素数.
上述问题的证明应用了Davenport-Heilbronn方法.
关键词: 素变数,混合幂,丢番图逼近,Davenport-Heilbronn方法,算术
数列