本文主要针对数字几何造型中的一些基础理论和应用问题进行研究。主要研究内容如下： 1．二次有理B样条曲线的曲率单调研究。 2．平面相离圆弧间G<2>连续过渡曲线的构造。 3．断层轮廓线数据的三维物体重建。 4．三维网格模型中空缺区域的填补。 5．基于网格模型的再设计曲面复原。 6．三维网格模型的降噪光顺研究。 通过Bernstein基转换的方法对二次有理B样条曲线的曲率单调条件进行了研究。首先给出了均匀二次有理B样条曲线段曲率单调的充要条件，然后给出了非均匀二次有理B样条曲线段曲率单调的充分条件。最后得到了由任意多个控制顶点构成了二次有理B样条曲线曲率单调的充分条件。 过渡曲线在计算机辅助几何设计及数字几何造型中有着诸多应用，如平面两曲线(通常两圆弧之间)的光顺拼接等。在道路线形设计和机器人轨迹设计中，通常还要求过渡曲线的曲率能保持曲率单调，因此G<2>连续过渡曲线的研究有着重要的应用价值。采用待定系数法找到一对合适的三次Bézier spiral曲线和一对五次PH spiral曲线，可用来平面相离圆弧间G<2>连续过渡曲线的构造。与传统方法相比，本方法的特点是过渡曲线能通过解析公式得到，简化计算；另外两圆弧的半径比例不受限制，扩大了应用范围。 在医学成像，生物工程，CAD/CAM等研究和应用领域中，许多物体都是通过一系列2D的断层轮廓线表示，如何通过这些断层轮廓数据重构出物体的三维形状是计算机图形学和数字几何造型中的一个重要研究内容。提出了一种新的断层轮廓线三维重构方法。首先，采用简单的方法去除掉每个断层轮廓线中的冗余点，然后使用三次Bézier样条曲线插值这些点。对不同断层线上的对应数据点，也可使用三次Bézier样条曲线插值，因此可以使用双三次Bézier样条曲面来重构断层数据点表示的三维模型。该方法的好处是重构曲面是光滑，因为使用G<2>连续的三次Bézier样条曲面。另外重构的速度快，因为计算过程中我们可使用追赶法求解三对角方程组。实验结果验证了该方法的可行性和有效性。 三角网格模型已成为数字几何造型中的常用表示形式，在计算机图形学和计算机辅助设计等诸多领域内有着广泛应用。但由于各种原因，物体的原始网格模型通常存在着一些孔洞，缺口等空缺区域。这些空缺区域影响着许多网格后续操作和研究，因此，必须事先对这些空缺区域进行填补和修复，获得完整的网格模型。给出了一个新的网格空缺区域填补算法。通过搜索方法找到网格模型中与空缺区域形状相关的相邻影响区域，然后使用双三次Bézier样条曲面插值空缺区域和相邻区域内的给定顶点，最后通过三角网格化来填补空缺区域。该方法的好处是填补算法简单、有效；填补区域能光顺的与周围区域拼接，并且能较好的保持空缺区域的原有形状。 随着几何扫描技术的快速发展，可以方便的得到物体的网格模型。但是许多学者仍对网格模型的变形和变换研究感兴趣，可以通过一些有效的方法从已有的一些物体网格模型中创造出一些新的物体模型。这些研究在计算机动画，游戏设计，影视制作等数字媒体领域中有着重要的应用价值。对再设计曲面的复原是网格模型变换中的一个有效技术，它通过使用新的网格模型片用来修改和代替原有网格模型的局部从而构造出新的网格模型。提出了一个快速的再设计曲面复原方法。当检测到再设计曲面和原有模型中需重新设计区域的边界后，先使用主轴法对其进行粗匹配，然后使用迭代最近点法对其精确匹配。当使用这两种匹配方法时，对这些算法进行了改进，提高了再设计曲面的复原速度。实验结果证明了我们的方法方便，有效。随着CT，MRI等3D扫描仪的快速发展，鲁棒、有效的数字几何处理已得到日益深入的研究。但是即使是高精度的扫描仪，由于各种原因，获取的3D网格模型总是不可避免的带有噪声。需要在对网格处理研究之前进行降噪处理。网格模型的降噪和光顺研究已成为计算机图形学和逆向工程中的重要研究内容。提出了一个新的网格降噪和光顺算法。先估算出每个网格顶点的主曲率和Mesh saliency值，然后通过Mesh saliency值得到每个网格顶点的均匀主曲率。再使用加权的双二次Bézier曲面拟合每个顶点及周围区域，通过调节曲面参数值获得每个网格顶点的光顺点。实验结果表明光顺方法能很好的保持模型几何特征，有效的防止体积收缩，另外多非封闭的网格模型，也能得到光顺的模型边界。